Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ кроме ${\displaystyle n=1}$ тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри .

Свойства

• По , CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда его универсальное накрытие стягиваемо .

• Если конечномерный CW-комплекс асферичен, то его фундаментальная группа не имеет кручения.

• Каждое асферическое пространство ${\displaystyle X}$ по определению является K(G,1) пространством , где ${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$ является фундаментальной группой ${\displaystyle X}$ . Кроме того, оно является для группы ${\displaystyle G}$ , рассматриваемой как топологическая группа с дискретной топологией .

• Пусть ${\displaystyle X}$ асферическое пространство и ${\displaystyle K}$ — связный CW-комплекс .
  • Любое непрерывное отображение из 2-мерного остова ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle X}$ может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём ${\displaystyle K}$ .
  • Для любого гомоморфизма фундаментальных групп ${\displaystyle h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X}$ существует непрерывное отображение ${\displaystyle \varphi \colon K\to X}$ , которое индуцирует ${\displaystyle h}$ . Более того, ${\displaystyle \varphi }$ единственно с точностью до гомотопии .

• Прямое произведение асферических пространств асферическое.

Примеры

• Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими.
• Тор любой размерности асферичен.
• Любое асферично.
• Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально CAT(0) пространства ) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара .
• Дополнение узла в ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ является асферическим по теореме о сфере
• Любое нильмногообразие асферично.
• Бесконечномерное линзовое пространство ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}}$ асферично.

См. также

• Существенное многообразие

Внешние ссылки

• on the Manifold Atlas.