Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных .

Типичные операции

Пределы и непрерывность

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения , которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы . Функция

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы ${\displaystyle y=x^{2}}$ , предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ имеет пределом число A при стремлении переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ , соответственно, к ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ , если для каждого числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдется такое число ${\displaystyle \delta >0}$ , что ${\displaystyle |f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon }$ , то есть ${\displaystyle |x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta }$ .

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle A}$ , если предельное значение этой функции в точке ${\displaystyle A}$ существует и равно частному значению ${\displaystyle f(A)}$ .

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной на множестве ${\displaystyle {M}}$ , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной

Понятие частной производной неизбежно возникает при попытке дифференцирования многомерных функции и в геометрическом смысле является производной от её части, на пересекающей в точке определения плоскости, которая в случае рассмотрения декартовой прямоугольной системы координат параллельна плоскости (O, ${\displaystyle x_{k}}$ ,f), где О — точка пересечения координатных осей; ${\displaystyle x_{k}}$ — частный аргумент точки дифференцирования; f — ордината точки. Рассматриваемая производная n-мерной функции будет обозначается как ${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}}$ , что есть её дифференцирование по одному из аргументов:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{1}~...~x_{k}+\Delta x_{k}~...~x_{n})-f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\Delta x_{k}}},}$

где ${\displaystyle x_{k}}$ — определенный аргумент; а символ ${\displaystyle \partial }$ является видоизмененной записью ${\displaystyle d_{x}}$ и отдельно не употребляется.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла ( ${\displaystyle \nabla }$ ) используется для определения понятий градиента , дивергенции , и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения , содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование

Интеграл ${\displaystyle \underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}}$ называется кратным интегралом , если ${\displaystyle n>1}$ . В случае ${\displaystyle n=2}$ он называется двойным, в случае ${\displaystyle n=3}$ — тройным интегралом, а в случае произвольного ${\displaystyle n\in N}$ — n-кратным. Его обозначают также ${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)dx}$ . При такой записи под символом ${\displaystyle x}$ следует понимать точку ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ пространства ${\displaystyle E^{n}}$ , под символом ${\displaystyle dx}$ — произведение ${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}}$ , а под знаком ${\displaystyle \int \limits _{D}}$ — n-кратный интеграл по n-мерной области ${\displaystyle D}$ .

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные интегралы могут использоваться для вычисления объемов областей в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям , таким как поверхности и кривые .

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа :

• Теорема Ньютона — Лейбница
• Теорема Стокса
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Теорема Грина

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм .

Применение

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

		Область	Применимые методы
Кривые		${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$	Длины кривых, Криволинейные интегралы , и кривизна .
Поверхности		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$	Площади поверхностей, поверхностные интегралы , поток через поверхности, и кривизна.
Скалярные поля		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$	Максимумы и минимумы, множители Лагранжа , производные по направлениям .
Векторные поля		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$	Любая из операций векторного анализа , включая градиент , дивергенцию , и ротор .

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы . Функции с независимыми переменными , соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику .

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические (случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.

См. также

• Векторный анализ
• Интеграл
• Производная (обобщения)

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
• Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.

Ссылки