Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми ) — поверхность постоянной отрицательной кривизны , образуемая вращением трактрисы около её асимптоты . Название подчёркивает сходство и различие со сферой , которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История

Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами . Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского , наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью .

Характеристики

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=a\sin u}$ ,

${\displaystyle y=0}$ ,

${\displaystyle z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right),\quad 0\leq u\leq {\frac {\pi }{2}}}$ ,

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

${\displaystyle x=a\sin u\cos v}$ ,

${\displaystyle y=a\sin u\sin v}$ ,

${\displaystyle z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right)}$ ,

${\displaystyle 0\leq u\leq {\frac {\pi }{2}},\ 0\leq v\leq 2\pi }$ .

Первая квадратичная форма :

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}\operatorname {ctg} ^{2}u\,du^{2}+a^{2}\sin ^{2}u\,dv^{2}}$

Вторая квадратичная форма :

${\displaystyle \phi _{2}=a(-\operatorname {ctg} u\,du^{2}+\sin u\cos u\,dv^{2})}$

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/ a² .

Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы ( ${\displaystyle 4\pi a^{2}}$ ), объём — половина от объёма шара ( ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi a^{3}}$ ).

Вариации и обобщения

• Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского , ограниченной орициклом .

Источники

• Псевдосфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, М. , 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5 .
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, М. , 2007. ISBN 978-5-484-00871-1 .
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, М. , 2000.
• Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, М. , 1982.