Множество называется вполне ограниченным , если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

Замечания

• Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$ . Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной ${\displaystyle a}$ . Затем — разбить его на ${\displaystyle k^{n}}$ кубиков со сторонами ${\displaystyle a/k}$ . Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением ${\displaystyle k}$ .
• Если на конечномерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R^{n}} }$ вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика ${\displaystyle d(x,y)=\min(1,\mid x-y\mid )}$ или дискретная метрика .
• В бесконечномерном пространстве ${\displaystyle l^{2}}$ ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида ${\displaystyle e_{i}=(0\dots 0,1,0\dots 0)}$ , ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ .
• В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность . Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи .
• Иногда термин «вполне ограниченность» ( англ. totally bounded ) путают с термином «полная ограниченность» ( англ. completely bounded ). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.

Литература

1. Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М. : Наука , 1976 . — 106 с.