Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика (фр.) ( , описывающая длину кривых постоянной ширины . Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка

Длина любой кривой постоянной ширины ${\displaystyle a}$ равна ${\displaystyle \pi a}$ .

Доказательства

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

• Основанное на методах выпуклой геометрии . С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины ${\displaystyle a}$ , тогда и только тогда, когда сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса ${\displaystyle a}$ . С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса ${\displaystyle a}$ , то есть ${\displaystyle \pi a}$ .

• Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона . Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы . Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии ${\displaystyle d}$ друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной ${\displaystyle {\frac {L}{\pi d}}}$ , где ${\displaystyle L}$ — периметр этой фигуры . Поскольку фигура постоянной ширины ${\displaystyle a}$ удовлетворяет условию этой теоремы для ${\displaystyle d=a}$ , а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться ${\displaystyle \pi a}$ .

Вариации и обобщения

• Теорема Барбье также выполняется для фигур постоянной ширины в плоскости Минковского .
• Формула Крофтона

Примечания

Литература

• Barbier E. (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. (недоступная ссылка)
• Bogomolny A. (англ.) . Cut the Knot . Дата обращения: 22 сентября 2011. 4 февраля 2012 года.
• // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin : Springer-Verlag , 2002. — ISBN 1-4020-0609-8 . (англ.)
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .