Подобные треугольники в евклидовой геометрии — треугольники , углы у которых соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны . Являются подобными фигурами .

В данной статье рассматриваются свойства подобных треугольников в евклидовой геометрии . Некоторые утверждения являются неверными для неевклидовых геометрий .

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов определения.

Первый признак

то есть: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\Leftrightarrow \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Следствия первого признака подобия

• Если три стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трём сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны . Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».
• Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника , против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника , то есть просто параллельны. Следовательно, подобны , например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.

Второй признак

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$ , в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ ( первый признак ) ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}}.}$

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}\Rightarrow AC=AC_{2}\Rightarrow \triangle ABC=\triangle ABC_{2}}$ ( первый признак ) ${\displaystyle \Rightarrow \angle B=\angle ABC_{2}\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ ( первый признак ).

Третий признак

Дано : ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}}$ .

Доказать : ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$ , в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ ( первый признак ) ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}}.}$

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}\Rightarrow \ }$ AC=AC ₂ , BC=BC ₂ => ∆ABC = ∆ABC ₂ ( третий признак );
∆ABC ₂ ${\displaystyle \sim }$ ∆A ₁ B ₁ C ₁ => ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ .

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. По острому углу — см. первый признак ;
2. По двум пропорциональным катетам — см. второй признак ;
3. По пропорциональному катету и гипотенузе — см. третий признак .

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Отношение периметров и длин биссектрис , медиан , высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Примеры подобных треугольников

Подобны следующие виды треугольников:

• Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
• Треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику ; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
• Треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику ; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
• Исходный треугольник ${\displaystyle \Delta ABC}$ по отношению к ортотреугольнику является треугольником трёх внешних биссектрис .
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна , и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников .
• Теорема : окружностно-чевианный треугольник подобен подерному . Здесь использованы определения:
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником .
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

• Соответственные стороны дополнительного треугольника , антидополнительного треугольника и исходного треугольника попарно параллельны.
• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника , против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника .
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна , и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Подобие в прямоугольном треугольнике

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку , а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу ,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определения

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

См. также

• Неравенство Пидо
• Подобие
• Признаки равенства треугольников
• Решение треугольников
• Среднее геометрическое
• Треугольник

Примечания

Литература

• Геометрия 7-9/ Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Ссылки