Мно́жество — одно из ключевых понятий математики , представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элеме́нтов этого множества . Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы .

Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств , а также смежные разделы математики и математической логики . Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций , множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым , упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным . Бесконечное множество может быть счётным или несчётным . Более того, как в наивной , так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую терминологию и идеологию.

История понятия

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано , который сформулировал некоторые из её принципов .

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых) . В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, он определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством», и назвал эти объекты элементами множества . Множество всех объектов, обладающих свойством ${\displaystyle A(x)}$ (то есть утверждением, истинность которого зависит от значения переменной ${\displaystyle x}$ ), он обозначил ${\displaystyle \{x\mid A(x)\}}$ , а само свойство ${\displaystyle A(x)}$ назвал характеристическим свойством множества ${\displaystyle X}$ .

Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела к парадоксам — в частности, к парадоксу Рассела .

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело . В дальнейшем обе системы пересматривались и изменялись, но в основном сохранили их характер. Они известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело . Впоследствии теория множеств Кантора стала называться наивной теорией множеств , а теорию (в частности, Рассела и Цермело), перепостроенную после Кантора, — аксиоматической теорией множеств .

В практике, сложившейся с середины XX века, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC ( аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора ). Однако при таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества . Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита , их элементы — строчными. Если ${\displaystyle a}$ — элемент множества ${\displaystyle A}$ , то пишут ${\displaystyle a\in A}$ (« ${\displaystyle a}$ принадлежит ${\displaystyle A}$ ») или ${\displaystyle A\ni a}$ (« ${\displaystyle A}$ содержит ${\displaystyle a}$ »). Если ${\displaystyle a}$ не является элементом множества ${\displaystyle A}$ , то пишут ${\displaystyle a\notin A}$ (« ${\displaystyle a}$ не принадлежит ${\displaystyle A}$ »).

Если всякий элемент множества ${\displaystyle A}$ содержится в ${\displaystyle B}$ , то пишут ${\displaystyle A\subset B}$ (« ${\displaystyle A}$ лежит в ${\displaystyle B}$ , является его подмножеством »). Согласно теории множеств, если ${\displaystyle X\subset Y}$ , то для всякого элемента ${\displaystyle a\in Y}$ определено либо ${\displaystyle a\in X}$ , либо ${\displaystyle a\not \in X}$ .

Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то есть ${\displaystyle \{6,11\}=\{11,6\}}$ . Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено число вхождений одинаковых элементов, то есть запись ${\displaystyle A=\{11,11,6,11,6\}}$ , вообще говоря, не имеет смысла, если ${\displaystyle A}$ — множество. Однако корректной будет запись множества ${\displaystyle B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}}$ .

Задание множества

Существуют два основных способа задания множеств : перечислением элементов и их описанием.

Перечисление

Первый способ требует задать (перечислить) все элементы, входящие в множество. Например, множество ${\displaystyle Y}$ неотрицательных чётных чисел , меньших 10, задастся: ${\displaystyle Y=\{0,2,4,6,8\}.}$ Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Описание

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать перечислением (например, если множество содержит бесконечное число элементов). В таком случае его можно описать свойствами принадлежащих ему элементов.

Множество ${\displaystyle Y\subset X}$ задано, если указано условие ${\displaystyle A(x)}$ , которому удовлетворяют все элементы ${\displaystyle x\in X:x\in Y}$ , и которому не удовлетворяют ${\displaystyle x\in X:x\notin Y}$ . Обозначают ${\displaystyle Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.}$

Например, график функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ можно задать следующим образом:

${\displaystyle \Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \}},}$

где ${\displaystyle \times }$ — декартово произведение множеств.

Отношения между множествами

Для множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ могут быть заданы отношения :

• ${\displaystyle A}$ включено в ${\displaystyle B}$ , если каждый элемент множества ${\displaystyle A}$ принадлежит также и множеству ${\displaystyle B}$ :

  ${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a(a\in A\Rightarrow a\in B)}$

• ${\displaystyle A}$ включает ${\displaystyle B}$ , если ${\displaystyle B}$ включено в ${\displaystyle A}$ :

  ${\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}$

• ${\displaystyle A}$ равно ${\displaystyle B}$ , если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ включены друг в друга:

  ${\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A}$

  • Для любых множеств ${\displaystyle A=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$ , то ${\displaystyle B=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$ , ${\displaystyle B=C}$ , то ${\displaystyle A=C}$ .

Иногда различают строгое включение ( ${\displaystyle A\subset B}$ ) от нестрогого ( ${\displaystyle A\subseteq B}$ ), различающиеся тем, что из ${\displaystyle A\subset B\not \Rightarrow A=B}$ . Однако в большинстве случаев строгость включений не расписывают, отчего встречаются записи произвольных включений знаками строгого включения.

Операции над множествами

Для наглядного представления операций часто используются диаграммы Венна , на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Основные операции

Пересечение (множество общих точек):

${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A,\,x\in B\}}$ .

Объединение (множество всех точек):

${\displaystyle A\cup B=\{x,y\mid x\in A,\,y\in B\}}$ .

Объединение непересекающихся ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ ( ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ) также обозначают ${\displaystyle A+B=A\cup B}$ .

Разность (множество точек первого без второго):

${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A,\,x\notin B\}}$ .

Симметрическая разность :

${\displaystyle A\bigtriangleup B\equiv A\mathbin {\dot {-}} B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$ ;

Дополнение для ${\displaystyle A\subset B}$ (множество ${\displaystyle B}$ без ${\displaystyle A}$ ):

${\displaystyle {\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A}$ .

Булеан ${\displaystyle A}$ (множество всех подмножеств):

${\displaystyle 2^{A}=\{X\mid X\subset A\}}$ .

Для операций над множествами также справедливы законы де Моргана :

${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)}$ ,

${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}$ .

Приоритет операций

Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения , затем — объединения , разности и симметрической разности ^{[ источник не указан 1580 дней ]} . Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания , для которых, в частности, верно, что ${\displaystyle (a+b)-c=a+(b-c)}$ , для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если ${\displaystyle A=\{1,3\}}$ , ${\displaystyle B=\{1,2\}}$ , ${\displaystyle C=\{2,3\}}$ , то ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=\{1\}}$ , но, в то же время, ${\displaystyle A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}}$ .

Декартово произведение

Декартовым произведением множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют множество, обозначаемое ${\displaystyle (A\times B)}$ , элементами которого являются всевозможные пары элементов исходных множеств; ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\}}$ .

Удобно представить, что элементы декартова произведения заполняют таблицу элементов, столбцы которой описывают все элементы одного множества, а строки, соответственно, другого.

Мощность

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции , были равномощны. Обозначается ${\displaystyle |A|}$ или ${\displaystyle \sharp A}$ . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа , соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если ${\displaystyle A\subseteq B}$ , то ${\displaystyle |A|\leqslant |B|}$ ) и распространяющие свойства мощности булеана конечного множества: ${\displaystyle |2^{A}|=2^{|A|}}$ на случай бесконечных множеств. Само обозначение ${\displaystyle 2^{A}}$ во многом мотивировано этим свойством.

Наименьшая бесконечная мощность обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$ , это мощность счётного множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ). Мощность континуального множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ) обозначаетсяя ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ или ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ . Во многом определение мощности континуума строится на континуум-гипотезе — предположении об отсутствии промежуточных мощностей между счётной мощностью и мощностью континуума.

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• Одноэлементное множество — множество, состоящее из одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества и объекты, участвующие в рассматриваемой задаче».

Сходные объекты

• Кортеж (в частности, упорядоченная пара ) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
• Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
• Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
• Вектор — элемент линейного пространства , содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
• Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
• Нечёткое множество — математический объект , подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением , а функцией . Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии

• Система множеств (множество множеств) — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения (например, все они могут быть подмножествами некоторого другого множества) .
  • Алгебра множеств , кольцо множеств — примеры типов структур, являющихся системами множеств.
  • Булеан — множество всех подмножеств данного множества.
• Семейство множеств — индексированный аналог системы множеств.
• Подмножество
• Надмножество

Примечания

	В Викисловаре есть статья « »

Литература

• К. Куратовский , А. Мостовский . Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М. : Мир, 1970. — 416 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича . — М. : Просвещение, 1968. — 232 с.