Interested Article - Единичная окружность

Единичная окружность окружность с радиусом 1 и центром в начале координат . Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций .

Свойства и связанные понятия

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом .

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора , выполняется равенство . Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют « тригонометрическим кругом », что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг ).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку на единичной окружности с началом координат , получается отрезок, находящийся под углом относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим :

,
.

При подстановке этих значений в уравнение окружности получается:

.

(Используется следующая общепринятая нотация: .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

для всех целых чисел , то есть для .

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел , модуль которых равен 1:

Любое ненулевое комплексное число может быть однозначно записано в виде где число имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, содержит важные в алгебре конечные группы корней -й степени из единицы , образующие вдоль единичной окружности вершины правильного -угольника.

Радиан как длина дуги единичной окружности

Радианная мера

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла) .

Вариации и обобщения

Понятие единичной окружности обобщается до -мерного пространства ( ), в таком случае говорят о « единичной сфере ».

Примечания

  1. .
  2. , с. 24—27.
  3. , с. 7—8.

Литература

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Единичная окружность