Число Пизо (или число Пизо—Виджаярагхавана , или PV-число ) — любое алгебраическое целое число , большее единицы, модули всех сопряжённых которого строго меньше единицы. Эти числа открыты Акселем Туэ в 1912 году , изучались Годфри Харди с 1919 в связи с диофантовыми приближениями , но получили известность после публикации диссертации в 1938 . Исследования продолжили и Рафаэль Салем в 1940-х годах.

С числами Пизо тесно связаны числа Салема : это такое число, что модули всех его сопряжённых не больше 1 и среди них присутствует единичный.

Свойства

Чем больше натуральный показатель степени PV-числа, тем больше эта степень приближается к целому числу. Пизо доказал, что среди нецелых положительных алгебраических чисел, модули которых больше 1, это свойство является исключительным для PV-чисел: если вещественное число ${\displaystyle \alpha >1}$ таково, что последовательность расстояний ${\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}$ от его степеней до множества целых чисел принадлежит ${\displaystyle l_{2}}$ ^{[ прояснить ]} , то ${\displaystyle \alpha }$ — число Пизо (и, в частности, ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое).

Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ , известный как пластическое число .

Квадратичные иррациональности , являющиеся числами Пизо:

Значение	многочлен	Числовое значение
${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-x-1}$	1,618034… ( золотое сечение )
${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle x^{2}-2x-1}$	2,414214… ( серебряное сечение )
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x+1}$	2,618034…
${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle x^{2}-2x-2}$	2,732051…
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-1}$	3,302776… ( )
${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x+2}$	3,414214…
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-2}$	3,561553.. .
${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x+1}$	3,732051…
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}}$	${\displaystyle x^{2}-3x-3}$	3,791288…
${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle x^{2}-4x-1}$	4,236068…

Примечания