Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс ) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. Является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивающей практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальной .

С точки зрения теории категорий определяется как из категории множеств , или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.

Определения и структура

Симплициальное множество ${\displaystyle X}$ — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств : ${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$ .

Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами ${\displaystyle \delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]}$ и ${\displaystyle \sigma _{i}^{n}\colon [n+1]\to [n]}$ ( ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$ ), определёнными как :

${\displaystyle \delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}}$ ,

${\displaystyle \sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}}$ ,

то симплициальное множество может быть сконструировано как система ${\displaystyle n}$ -х слоёв ${\displaystyle X_{n}}$ , связанных соответствующими ( двойственными к ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \sigma }$ ) отображениями ${\displaystyle d_{i}^{n}\colon X_{n}\to X_{n-1}}$ и ${\displaystyle s_{i}^{n}\colon X_{n}\to X_{n+1}}$ , удовлетворяющих соотношениям:

${\displaystyle d_{i}^{n}d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}d_{i}^{n+1}}$ , если ${\displaystyle i<j}$ ,

${\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1}}$ , если ${\displaystyle i\leqslant j}$ ,

${\displaystyle d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1}d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}}$ .

Точки слоя ${\displaystyle X_{n}}$ называются ${\displaystyle n}$ -мерными симплексами , притом точки слоя ${\displaystyle X_{0}}$ — вершинами , а слоя ${\displaystyle X_{1}}$ — рёбрами. Морфизмы ${\displaystyle d_{i}^{n}}$ называются операторами граней , а морфизмы ${\displaystyle s_{j}^{n}}$ — операторами вырождения .

Симплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами ${\displaystyle f\colon X\to X'}$ , симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв ${\displaystyle f_{n}\colon X_{n}\to X_{n}'}$ , притом выполнено:

${\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n}}$ ( ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$ ),

${\displaystyle s_{i}^{n}f_{n}=f_{n+1}s_{i}^{n}}$ ( ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant n}$ ).

Симплициальное множество ${\displaystyle X}$ называется симплициальным подмножеством ${\displaystyle X'}$ , если все слои ${\displaystyle f_{n}\colon X_{n}\to X_{n}'}$ симплициального отображения ${\displaystyle f\colon X\to X'}$ инъективны ; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в ${\displaystyle X}$ являются сужениями соответствующих операторов для ${\displaystyle X'}$ .

Симплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть ${\displaystyle X/\sigma }$ — набор слоёв ${\displaystyle X_{n}/\sigma }$ , притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества ${\displaystyle X}$ .

Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}}$ .

Мотивация

Примеры

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 22 марта 2017 )

Свойства

Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle X'}$ определены прямое произведение ${\displaystyle X\times X'}$ и прямая сумма (раздельное объединение) ${\displaystyle X\oplus X'}$ , притом для всех слоёв:

${\displaystyle (X\times X')_{n}=X_{n}\times X'_{n}}$ ,

${\displaystyle (X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}}$ .

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Геометрическая реализация

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 22 марта 2017 )

Косимплициальное множество

Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств: ${\displaystyle \Delta \to \mathbf {Set} }$ . Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\Delta }}$ .

Примечания

Литература

• Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Перевод с английского М. М. Постникова. — М. : Мир , 1971. — 296 с.
• Симплициальное множество — статья из Математической энциклопедии . Малыгин С. Н., Постников М. М.
• Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .