Данная статья — часть обзора История математики .

Общие сведения

Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э.. на территории современного Ирака , придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках , которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства . Корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо , счётная методика и т. п.

Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской , а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение квадратных уравнений , геометрические прогрессии . При решении применялись пропорции , средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян .

В вавилонских текстах, как и в египетских , излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств . Однако анализ алгоритмов показывает, что развитая общая математическая теория у вавилонян, несомненно, была .

Нумерация

Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления , увековеченную в делении круга на 360°. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.

Древнегреческие и средневековые европейские математики (в том числе и Коперник ), для обозначения дробных частей пользовались вавилонской 60-ричной системой. Благодаря этому, мы делим час на 60 минут и минуты на 60 секунд. Вопреки распространённому мнению, часы, минуты и секунды не использовались в Древнем Вавилоне. Вместо этого использовался «двойной час» длительностью 120 современных минут, а также «время-градус» длительностью 1 ⁄ 360 дня (то есть четыре минуты) и «третья часть» длительностью 3 1 ⁄ 3 современных секунды (как в современном еврейском календаре ) .

В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:

4,2,10; 46,52

Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600

Арифметика и алгебра

Основой вычислительной техники вавилонян был громоздкий комплект специальных арифметических таблиц. Он включал таблицы для умножения (отдельно для умножения на 1…20, 30…50), обратных величин, квадратов , кубов , квадратных и кубических корней и многие другие. Одна из таблиц помогала находить показатель степени n , если дано число вида ${\displaystyle 2^{n}}$ (эти двоичные логарифмы использовались для подсчёта процентов по кредиту). Деление целых чисел m/n вавилоняне заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n использовалась упомянутая выше таблица обратных величин .

Линейные и квадратные уравнения (см. Plimpton 322 ) решались ещё в эпоху Хаммурапи (он правил в 1793—1750 годах до н. э.); при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов ; эти значки употреблялись как буквенные обозначения для неизвестного (в терминах современной алгебры ). Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений .

Для вычисления квадратных корней вавилоняне открыли быстро сходящийся итерационный процесс . Начальное приближение для ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа ${\displaystyle n}$ . Представив подкоренное выражение в виде: ${\displaystyle a=n^{2}+r}$ , получаем: ${\displaystyle x_{0}=n+{\frac {r}{2n}}}$ , затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона :

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }$

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ , например, ${\displaystyle a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4}}=2{,}25,}$ и мы получаем последовательность приближений:

${\displaystyle x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779}$

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Геометрия

В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте , плюс сегмент круга и усечённый конус . В ранних документах полагают ${\displaystyle \pi =3}$ ; позже встречается приближение 25/8 = 3,125 (у египтян 256/81 ≈ 3,1605). Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть ${\displaystyle \pi ^{2}R^{2}/3}$ . Впервые появляется (ещё при Хаммурапи ) теорема Пифагора , причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников ; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте : ${\displaystyle S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}}$ .

От вавилонской математики ведёт начало принятое сегодня измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу , II век до н. э.)

Венцом планиметрии была теорема Пифагора ; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли её между 2000 и 1786 годами до н. э. .

Историческое влияние

Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций, и прежде всего — науки древней Греции. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков .

Примечания

Литература

• Ван дер Варден. . — М. : Наука, 1959. — 456 с.
• Веселовский И. Н. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — М. : Академия наук СССР, 1955. — Вып. 5 . — С. 241—304. .
• Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М. : Наука, 1967.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. . — Изд. второе. — М. : Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича . — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
• Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования . — М. : Физматгиз , 1959. — № 12 . — С. 271—320 .
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М. : Изд. МГУ.
  • Том I. (1960). Том II. (1963)
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича . — М. : Просвещение, 1976. — 318 с.
• Friberg J. World Scientific, 2005.
• Friberg J. World Scientific, 2007.

Ссылки

• от 20 февраля 2018 на Wayback Machine (англ.)
• O’Connor, J. J. and Robertson, E. F. , , MacTutor History of Mathematics, (December 2000).