Квадрату́ра кру́га Та́рского — задача о равносоставленности круга и равновеликого квадрата.

Формулировка

Возможно ли разрезать круг на конечное число частей и собрать из них квадрат такой же площади ?

Более формально: можно ли разбить круг на конечное количество попарно непересекающихся подмножеств и передвинуть их так, чтобы получить разбиение квадрата такой же площади на попарно непересекающиеся подмножества?

История

В 1925 году задача была сформулирована польско-американским математиком Альфредом Тарским .

В 1963 году был достигнут первый прогресс в решении задачи. Было доказано, что равное разложение невозможно получить разрезанием вдоль жордановых кривых , то есть если разбиение Тарского существует, то оно требует сложных фрактальных кусков, испещренных дырами и замысловато зазубренными краями.

В 1990 году возможность такого разбиения доказал венгерский математик Миклош Лацкович . Доказательство Лацковича опирается на аксиому выбора . Найденное разбиение состоит из примерно 10 ⁵⁰ частей, которые являются неизмеримыми множествами и границы которых не являются жордановыми кривыми . Для перемещения частей достаточно использовать только параллельный перенос , без поворотов и отражений . Однако доказательство Лачковича не было конструктивным, он лишь доказал, что разбиение можно сделать, но он не мог ни сказать, как построить части, ни каким-либо образом описать их.

В 2005 году Тревор Уилсон доказал, что существует требуемое разбиение, при котором части можно сдвигать параллельным переносом таким образом, чтобы они всё время оставались непересекающимися.

В 2017 году Эндрю Маркс и Спенсер Унгер нашли первое полностью конструктивное решение задачи Тарского с разбиением на 10 ²⁰⁰ борелевских кусков .

В 2021 году Мате, Ноэль и Пихурко улучшили свойства борелевских кусков, необходимых для конструктивного решения задачи Тарского. Хотя количество требуемых частей в новом решении осталось прежним (10 ²⁰⁰ ), найденные ими куски проще по форме и их намного легче визуализировать. Это открывает путь к дальнейшему упрощению разбиение и уменьшению числа кусков. Согласно предположению одного из авторов, должно быть разбиение Тарского из 22 кусков или меньше .

См. также

• Парадокс Банаха — Тарского
• Квадратура круга

Примечания

Ссылки

• Hertel, Eike; Richter, Christian (2003), (PDF) , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 47—55, MR от 3 марта 2016 на Wayback Machine .
• Laczkovich, Miklós (1990), "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", , 404 : 77—117, doi : , MR {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) .
• Laczkovich, Miklós (1994), "Paradoxical decompositions: a survey of recent results", Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992) , Progress in Mathematics, vol. 120, Basel: Birkhäuser, pp. 159—184, MR {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) .
• Tarski, Alfred (1925), "Probléme 38", Fundamenta Mathematicae , 7 : 381 .
• Wilson, Trevor M. (2005), "A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem", , 70 (3): 946—952, doi : , MR .

Для улучшения этой статьи желательно : Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей . Обновить статью, актуализировать данные. Проставить сноски , внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.