Теорема Цермело — теорема теории множеств , утверждающая, что на всяком множестве можно ввести такое отношение порядка , что множество будет вполне упорядоченным . Одна из важнейших теорем в теории множеств. Названа в честь немецкого математика Эрнста Цермело . Теорема Цермело эквивалентна аксиоме выбора , а следовательно, и лемме Цорна .

История

Георг Кантор считал, что утверждение этой теоремы является «фундаментальным принципом мысли». Действительно, любое счётное множество можно тривиально вполне упорядочить, например, перенеся порядок с множества натуральных чисел . Однако большинству математиков трудно представить себе полный порядок уже, например, множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных чисел. В 1904 году сообщил, что доказал, что такого упорядочения не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве. Однако вскорости Эрнст Цермело опубликовал свою известнейшую работу, в которой доказал, что любое множество можно вполне упорядочить. Его доказательство опиралось на впервые сформулированную в этой же работе аксиому выбора. Вызванная этим фактом дискуссия побудила Цермело впоследствии вплотную заняться аксиоматизацией теории множеств, что привело к созданию аксиоматики Цермело — Френкеля .

Доказательство

Доказательство см. в статье Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора .

См. также

• Вполне упорядоченное множество
• Аксиома выбора
• Лемма Цорна

Литература

• Верещагин Н. Шень А. Начала теории множеств. — 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0012-4 .

Примечания