Общая тауберова теорема Винера — теорема об асимптотических свойствах линейных преобразований функций, имеющих не равное нулю преобразование Фурье . Была доказана Норбертом Винером в 1932 году.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K_{1}}$ — функция из пространства ${\displaystyle L_{1}}$ , преобразование Фурье которой не обращается в нуль ни в одной точке оси ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ . Пусть ${\displaystyle K_{2}}$ принадлежит ${\displaystyle L_{1}}$ , а функция ${\displaystyle f(x)}$ ограничена на промежутке ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ . Если ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{1}(x-y)f(y)dy=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{1}(x)dx(1)}$ , то ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{2}(x-y)f(y)dy=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{2}(x)dx(2)}$ . С другой стороны, пусть ${\displaystyle K_{1}}$ — функция из пространства ${\displaystyle L_{1}}$ , преобразование Фурье которой имеет вещественный нуль. Тогда найдется ограниченная функция ${\displaystyle f(x)}$ и функция ${\displaystyle K_{2}(x)}$ , принадлежащая ${\displaystyle L_{1}}$ , такая, что ${\displaystyle (1)}$ выполняется, а ${\displaystyle (2)}$ не имеет места.

Пояснения

Здесь ${\displaystyle L_{1}}$ — обозначает пространство вещественных неограниченных функций, для которых существует предел ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{A,B\to -\infty }\int \limits _{a}^{b}f_{A,B}(x)dx}$ .

Литература

• Норберт Винер. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — Физматлит, 1963. — 256 с.