Магический шестиугольник или магический гексагон порядка ${\displaystyle n}$ — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной ${\displaystyle n}$ таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе ${\displaystyle M.}$

Порядок n = 1 ${\displaystyle M=1}$	Порядок n = 3 ${\displaystyle M=38}$

Обычный магический шестиугольник может быть только порядка ${\displaystyle n=1}$ (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или ${\displaystyle n=3}$ и может содержать числа от единицы до ${\displaystyle 3n^{2}-3n+1.}$ Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка ${\displaystyle n=3.}$

Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году. ^{[ источник не указан 3422 дня ]}

Доказательство единственности

Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=3.}$

Вычислим магическую константу ${\displaystyle M.}$ С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до ${\displaystyle 3n^{2}-3n+1}$ (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне

${\displaystyle S={\cfrac {3n^{2}-3n+1}{2}}(3n^{2}-3n+2).}$

С другой стороны, есть ${\displaystyle 2n-1}$ рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна ${\displaystyle M,}$ то во всём шестиугольнике будет ${\displaystyle S=M(2n-1).}$

Приравняв суммы, получим, что

${\displaystyle 32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{\cfrac {5}{2n-1}}}$

Слева стоит целое число . Значит, справа должно тоже быть целое число.

Значит, ${\displaystyle {\cfrac {5}{2n-1}}}$ — это целое число, что возможно только при ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=3.}$

QED .

Аномальные магические шестиугольники

Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от ${\displaystyle n=3}$ не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.

Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.

14    33    30    34 39     6    24    20    22 37    13    11     8    25    17 21    23     7     9     3    10    38 36     4     5    12    28    26 35    16    18    27    15 19    31    29    32	41    51    63    45    44 64    25    40    46    35    34 23    20    10    56    27    42    66 55    38    19     9     6    22    48    47 61    58    18    11     8     7    13    15    53 52    37    14    16    30    12    24    59 57    32    29    21    17    39    49 31    36    62    28    54    33 43    26    60    65    50	56    61    70    67    51 55    45    36    48    53    68 74    37    26    29    27    39    73 62    42    33    19    16    31    38    64 58    57    22    20    15    18    23    43    49 63    47    28    21    17    30    34    65 71    35    24    32    25    46    72 59    44    40    41    52    69 54    60    75    66    50
Порядок 4 ${\displaystyle M=111}$ Начинается с ${\displaystyle 3}$ и кончается ${\displaystyle 39}$	Порядок 5 ${\displaystyle M=244}$ Начинается с ${\displaystyle 7}$ и кончается ${\displaystyle 66}$ .	Порядок 5 ${\displaystyle M=305}$ Начинается с ${\displaystyle 15}$ и кончается ${\displaystyle 75}$ .

Магический гексагон порядка ${\displaystyle n=6}$ , начинающийся с ${\displaystyle 21}$ и кончающийся ${\displaystyle 111}$ ( ${\displaystyle M=546}$ ) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.

Гексагон порядка ${\displaystyle n=7}$ , начинающийся с 2 и кончающийся 128 ( ${\displaystyle M=635}$ ) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.

Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка ${\displaystyle n=8}$ , начинающийся с −84 и кончающийся 84 ( ${\displaystyle M=0}$ ) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.

См. также

• Магический и супермагический квадрат
• Магический куб
• Чисугвимундо

Примечания

Литература

• Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
• Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4