Усечённый квадрат является правильным восьмиугольником: t{4} = {8} =

Усечённый куб t{4,3} или

t{4,3,4} или

Усечение — операция в пространстве любой размерности, которая отсекает вершины многогранника и при которой образуются новые грани на месте вершин. Термин берёт начало от названий архимедовых тел , данных Кеплером .

Однородное отсечение

В общем случае любой многогранник может быть усечён с некоторой степенью свободы выбора глубины усечения, что показано в статье Нотация Конвея для многогранников .

Обычно применяемый вид усечения — однородное усечение , при котором операция усечения применяется к правильному многограннику и результатом которого получается однородный многогранник с равными длинами рёбер. В этом случае нет свободы выбора и в результате получаем вполне определённые геометрические тела, похожие на правильные многогранники.

В общем случае все однородные многогранники с одним обведённым узлом (в диаграмме Коксетера — Дынкина) имеют однородное усечение. Например, икосододекаэдр , представленный символами Шлефли r{5,3} или ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ и имеющий диаграммы Коксетера — Дынкина или , имеет однородное усечение — ромбоусечённый икосододекаэдр с нотациями tr{5,3} или ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ , . В диаграмме Коксетера — Дынкина эффект усечения проявляется в том, что у всех узлов, смежных с обведённым, появляются кружки.

Усечение многоугольников

Усечённый n-сторонний многоугольник будет иметь 2n сторон. Однородно усечённый правильный многоугольник становится другим правильным многоугольником: t{n} = {2n}. Полное усечение , r{3}, является другим правильным многоугольником, исходному.

Правильные многоугольники можно также представить диаграммой Коксетера — Дынкина , , и его однородное усечение будет иметь диаграмму , а его полное усечение — диаграмму . Граф представляет группу Коксетера I ₂ (n), в которой каждый узел является зеркалом, а каждое ребро представляет угол π/ n между зеркалами, кружки же вокруг одного или двух зеркал показывают, какие из них активны.

Параметрическое усечение треугольника

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

Звёздчатые многоугольники могут быть тоже усечены. Усечённая пентаграмма {5/2} будет выглядеть как пятиугольник , но, в действительности, является дважды накрытым (вырожденным) десятиугольником ({10/2}) с двумя множествами наложенных друг на друга вершин и сторон. Усечённая большая гептаграмма (семиугольная звезда) {7/3} даёт четырнадцатиугольную звезду {14/3}.

Однородное усечение правильных многогранников и мозаик

Когда речь идёт об усечении правильных многогранников или , обычно использыется «однородное усечение», что предполагает усечение до состояния, когда исходные грани становятся правильными многоугольниками с удвоенным числом сторон.

Последовательность на рисунке показывает пример усечения куба, где показаны четыре шага из непрерывного процесса усечения от полного куба до полного усечения куба. Конечное тело — кубооктаэдр .

Среднее изображение является однородным усечённым кубом . Он представлен символом Шлефли t { p , q ,…}.

— это более сильное усечение, удаляющее все исходные рёбра, но оставляющие внутренние части исходных граней. Например, усечённый октаэдр является глубоко усечённым кубом: 2t{4,3}.

Полное глубокое усечение называется биректификацией и оно сводит исходные грани к точкам. Многогранник при этом превращается в двойственный многогранник . Например, октаэдр является полным глубоким усечением куба : {3,4} = 2r{4,3}.

Ещё один тип усечения — всестороннее усечение , при котором отсекаются рёбра и вершины, что даёт прямоугольники вместо рёбер.

Многогранники в более высоких размерностях имеют другие уровни усечений — , при которой отсекаются грани, рёбра и вершины. В размерностях выше 5 существует , при которой отсекаются грани, рёбра и вершины, а также трёхмерные грани.

Усечение рёбер

Усечение рёбер — это снятие фаски с многогранника, как в случае всестороннего усечения, но вершины при этом остаются, а рёбра заменяются шестиугольниками. В 4-мерном многограннике рёбра заменяются на .

Альтернации или частичные усечения

Альтернация или частичное усечение удаляет только некоторые из исходных вершин.

При частичном усечении или половина вершин и рёбер полностью удаляется. Операция применима к многогранникам, грани которого имеют чётное число сторон. Грани сокращают число сторон вдвое, а квадратные грани переходят рёбра. Например, тетраэдр является альтернацией куба, h{4,3}.

— более общий термин, использующийся для многогранников Джонсона , предполагает удаление одной или более вершин, рёбер или граней не трогая оставшиеся вершины. Например, получается из правильного икосаэдра путём удаления трёх вершин.

Другие частичные усечения основываются на симметрии. Например, .

Обобщённые усечения

Процесс линейного усечения может быть обобщён путём разрешения параметра усечения быть отрицательным или разрешения проходить через середину ребра, что даёт самопересекающиеся звёздчатые многогранники. Такие многогранники могут быть связаны с некоторыми и однородными звёздчатыми многогранниками .

• Мелкое усечение — рёбра уменьшаются в размерах, грани удваивают число сторон, на месте бывших вершин образуются новые грани.
• Однородное усечение — специальный случай, при котором все полученные рёбра имеют одинаковую длину. В усечённом кубе , t{4,3}, квадратные грани превращаются в восьмиугольники, а вместо вершин образуются треугольники.
• Антиусечение обратно мелкому усечению . В результате получается многогранник, который похож на исходный, но имеет части, висящие на углах, вместо отрезания углов.
• Полное усечение — предельное мелкое усечение, где рёбра сводятся к точкам. Примером служит Кубооктаэдр , r{4,3}.
• Гиперусечение является видом усечения, которое идёт далее полного усечения, обращая исходные рёбра, что приводит к самопересечениям.
• Квазиусечение является видом усечения, идущего далее гиперусечения, где обращённые рёбра становятся длиннее исходных. Это усечение можно получить из исходного многогранника путём отступления граней от рёбер, то есть движению в обратную сторону от вершины. Например, квазиусечение квадрата даёт правильную октаграмму (t{4,3}={8/3}), а квазиусечение куба даёт однородный , t{4/3,3}.

Усечения квадрата

Типы усечения квадрата, {4}. Исходные рёбра показаны красным цветом, а новые рёбра, полученные в результате усечения — голубым. Однородное усечение является правильным восьмиугольником, t{4}={8}. Полное усечение квадрата становится опять квадратом с диагональной ориентацией сторон. Вершины пронумерованы против часовой стрелки цифрами от 1 до 4, полученные в результате усечения пары отмечены буквами a и b .

Усечения куба

⇨	Куб {4,3}	⇨	Усечение t{4,3}	⇨	Полное усечение r{4,3}	⇩
Антиусечение						Гиперусечение
⇧	Полное квазиусечение	⇦	Квазиусечение	⇦	Полное гиперусечение	⇦

См. также

• Однородный многогранник
• Полное усечение
• Нотация Конвея для многогранников

Примечания

Литература

• H. S. M Coxeter . Chapter 8: Truncation // . — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc, 1973. — С. –154. — ISBN 0-486-61480-8 .
• Norman Johnson . Uniform Polytopes. — Manuscript, 1991.
• Norman Johnson . The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto: Ph.D. Dissertation, 1966.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Операции над многогранниками

Основа		Полное усечение		Двойствен- ность	Растяжение
t 0 {p, q} {p, q}	t{p, q}	t 1 {p,q} r{p, q}	2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	rr{p, q}	tr{p, q}	h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}