В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости . Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: международная нотация , и . Существует три вида групп симметрии на плоскости:

• 2 бесконечных семейства точечных групп
• 7 групп бордюра – 2D-
• 17 групп обоев – 2D- пространственные группы .

Точечные группы симметрии

На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n , равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.

Семейство	Межд. ( )	Шёнфлиса	Геом.	Порядок	Примеры
Циклические группы	n (n•)	C n	n [n] +	n	C 1 , [ ] + (•)	C 2 , [2] + (2•)	C 3 , [3] + (3•)	C 4 , [4] + (4•)	C 5 , [5] + (5•)	C 6 , [6] + (6•)
Диэдральные группы	n m (*n•)	D n	n [n]	2 n	D 1 , [ ] (*•)	D 2 , [2] (*2•)	D 3 , [3] (*3•)	D 4 , [4] (*4•)	D 5 , [5] (*5•)	D 6 , [6] (*6•)

Группа бордюров

На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.

7 групп бордюров , двумерных . Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.

[1,∞],

IUC ( )	Геом.	Шёнфлис		Фундаментальная область	Пример
p1 (∞•)	p 1	C ∞	[1,∞] +
p1m1 (*∞•)	p1	C ∞v	[1,∞]

[2,∞ ⁺ ],

IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p11g (∞×)	p. g 1	S 2∞	[2 + ,∞ + ]
p11m (∞*)	p. 1	C ∞h	[2,∞ + ]

[2,∞],

IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p2 (22∞)	p 2	D ∞	[2,∞] +
p2mg (2*∞)	p2 g	D ∞d	[2 + ,∞]
p2mm (*22∞)	p2	D ∞h	[2,∞]

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации , и и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной , скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.

Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.

Квадрат [4,4], IUC ( ) Геом. Фундаментальная область p1 (°) p 1 p2 (2222) p 2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + pgg (22×) p g 2 g [4 + ,4 + ] pmm (*2222) p2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] cmm (2*22) c2 [(4,4,2 + )] p4 (442) p 4 [4,4] + p4g (4*2) p g 4 [4 + ,4] p4m (*442) p4 [4,4]

Прямоугольный [∞ h ,2,∞ v ], IUC (Orb.) Геом. Коксетер Фундаментальная область p1 (°) p 1 [∞ + ,2,∞ + ] p2 (2222) p 2 [∞,2,∞] + pg(h) (××) p g 1 h: [∞ + ,(2,∞) + ] pg(v) (××) p g 1 v: [(∞,2) + ,∞ + ] pgm (22*) p g 2 h: [(∞,2) + ,∞] pmg (22*) p g 2 v: [∞,(2,∞) + ] pm(h) (**) p1 h: [∞ + ,2,∞] pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞ + ] pmm (*2222) p2 [∞,2,∞]

Ромбический [∞ h ,2 + ,∞ v ], IUC (Orb.) Геом. Коксетер Фундаментальная область p1 (°) p 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] p2 (2222) p 2 [∞,2 + ,∞] + cm(h) (*×) c1 h: [∞ + ,2 + ,∞] cm(v) (*×) c1 v: [∞,2 + ,∞ + ] pgg (22×) p g 2 g [((∞,2) + ) [2] ] cmm (2*22) c2 [∞,2 + ,∞] Параллелограммный (косой) p1 (°) p 1 p2 (2222) p 2

Шестиугольная /Треугольная [6,3], / [3 [3] ], p1 (°) p 1 p2 (2222) p 2 [6,3] Δ cmm (2*22) c2 [6,3] ⅄ p3 (333) p 3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + p3m1 (*333) p3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] p31m (3*3) h3 [6,3 + ] p6 (632) p 6 [6,3] + p6m (*632) p6 [6,3]

Взаимосвязь подгрупп обоев

В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе ${\displaystyle G}$ , и столбца, соответствующего группе ${\displaystyle H}$ , находится минимальный индекс подгруппы ${\displaystyle G}$ , изоморфной ${\displaystyle H}$ . На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.

См. также

• Список групп сферической симметрии
• — Гиперболические группы симметрии

Примечания

Литература

• , J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics.. — 2007. — Т. 48, 023514 .
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — A.K. Peters, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 . (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)

• John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry. — Natick, MA: A K Peters, Ltd., 2003. — ISBN 978-1-56881-134-5 .
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter , edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9 .
• N.W. Johnson . Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.

Ссылки

• (Notation changed from this original, x is now used in place of open-dot, and o is used in place of the closed dot)

Для улучшения этой статьи желательно : Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.