Interested Article - Теорема Безу (алгебраическая геометрия)

Теорема Безу — утверждение в алгебраической геометрии , описывающее число общих точек, или точек пересечения, двух плоских алгебраических кривых , не имеющих общей компоненты (то есть не имеющих бесконечно много общих точек). Теорема утверждает, что число общих точек таких кривых не превосходит произведения их степеней , и имеет место равенство, если учитывать бесконечно удалённые точки и точки с комплексными координатами (или, более общо, с координатами из алгебраического замыкания основного поля ), и если точки считаются с кратностями, равными .

Теоремой Безу также называют обобщение на более высокие размерности: пусть имеется n однородных многочленов от n +1 переменной, степеней $d_{1},\ldots ,d_{n}$ , которые задают n гиперповерхностей в проективном пространстве размерности n . Если число точек пересечения гиперповерхностей конечно над алгебраическим замыканием основного поля, то оно равно $d_{1}\cdots d_{n}$ с учётом кратностей. Как и в случае кривых на плоскости, для аффинных гиперповерхностей, если не учитывать кратности и бесконечно удалённые точки, теорема предоставляет только верхнюю границу на число точек, которая часто достигается. Она известна как граница Безу .

Строгая формулировка

Пусть X и Y — две плоские алгебраические кривые, определённые над полем F , которые не имеют общей компоненты (это условие означает, что X и Y определены многочленами, наибольший общий делитель которых является константой; в частности, это верно для двух «общих» кривых). Тогда общее число точек пересечения X и Y с координатами в алгебраически замкнутом поле E , содержащем F , подсчитанное с учётом кратностей, равно произведению степеней X и Y .

Обобщение на более высокие размерности может быть сформулировано следующим образом:

Пусть даны n проективных гиперповерхностей в проективном пространстве размерности n над алгебраически замкнутым полем, заданные n однородными многочленами от n + 1 переменной, степеней $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ Тогда либо число точек пересечения бесконечно, либо это число, подсчитанное с учётом кратностей, равно произведению $d_{1}\cdots d_{n}.$ Если гиперповерхности неприводимы и находятся в общем положении, то имеется $d_{1}\cdots d_{n}$ точек пересечения, все с кратностью 1.

История

Теорема Безу была, по существу, сформулирована Исааком Ньютоном в его доказательстве 28-й леммы первого тома его Начал в 1687 году, где он утверждает, что число точек пересечения двух кривых задаётся произведением их степеней. Эта теорема была позднее опубликована Этьеном Безу в 1779 году в его Théorie générale des équations algébriques . Безу, который не имел в своём распоряжении современных алгебраических обозначений уравнений от нескольких переменных, дал доказательство, основанное на манипуляциях с громоздкими алгебраическими выражениями. С современной точки зрения, подход Безу был довольно эвристическим, так как он не сформулировал точные условия, в которых теорема имеет место. Это привело к чувству, выраженному некоторыми авторами, что его доказательство не было корректным и не было первым доказательством этого факта.

Индекс пересечения

Наиболее деликатная часть теоремы Безу и её обобщения на случай k алгебраических гиперповерхностей в k -мерном проективном пространстве — это процедура сопоставления точкам пересечения правильных кратностей. Если P — общая точка двух плоских алгебраических кривых X и Y , которая является неособой точкой обоих из них, причём касательные X и Y в точке P различны, то индекс пересечения равен 1. Это соответствует случаю «трансверсального пересечения». Если кривые X и Y имеют общую касательную в точке P , то кратность равна как минимум 2. См. для общего определения.

Примеры

Две различные непараллельные прямые (лежащие в одной плоскости) всегда пересекаются ровно в одной точке. Две параллельные прямые пересекаются в единственной бесконечно удалённой точке. Чтобы увидеть, как это работает алгебраически, в проективном пространстве прямые x +2 y =3 и x +2 y =5 задаются однородными уравнениями x +2 y -3 z =0 и x +2 y -5 z =0. Решая эту систему уравнений, получаем x = −2 y и z =0, что соответствует точке (-2:1:0) в однородных координатах . Так как координата z равна 0, эта точка лежит на бесконечно удалённой прямой.
Частный случай, когда одна из кривых является прямой, может быть выведен из основной теоремы алгебры . В этом случае теоремы утверждает, что алгебраическая кривая степени n пересекает данную прямую в n точках, подсчитанных с учётом кратностей. Например, парабола, заданная уравнением y − x ² = 0, имеет степень 2; прямая y − ax = 0 имеет степень 1, и они пересекаются ровно в двух точках, если a ≠ 0, и касаются в начале координат (пересекаются с кратностью два), если a = 0.
Два конических сечения пересекаются в общем случае в 4 точках, некоторые из которых могут совпадать. Чтобы правильно подсчитать все точки пересечения, может потребоваться ввести комплексные координаты и учесть точки, лежащие на бесконечно удалённой прямой в проективной плоскости. Например:

Две окружности никогда не пересекаются более чем в двух точках на плоскости, тогда как теорема Безу предсказывает четыре. Несоответствие возникает из-за того, что любая окружность проходит через две фиксированные комплексные бесконечно удалённые точки. Записывая окружность

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

в однородных координатах, мы получаем

(x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,

откуда видно, что две точки (1: i :0) и (1:- i :0) лежат на любой окружности. Когда две окружности не пересекаются в вещественной плоскости, две другие точки пересечения имеют ненулевые мнимые части, или если окружности концентрические, то они пересекаются в двух бесконечно удалённых точках с кратностью два.

Любая коника, согласно теореме, должна пересекать бесконечно удалённую прямую в двух точках. Гипербола пересекает её в двух вещественных точках, соответствующих двум направлениям асимптот. Эллипс пересекает её в двух комплексно сопряжённых комплексных точках — в случае окружности, в точках (1: i :0) и (1:- i :0). Парабола пересекает её только в одной точке, но это точка касания, и поэтому она считается дважды.

Набросок доказательства

Запишем уравнения для X и Y в однородных координатах как

a_{0}z^{m}+a_{1}z^{m-1}+\dots +a_{m-1}z+a_{m}=0

b_{0}z^{n}+b_{1}z^{n-1}+\dots +b_{n-1}z+b_{n}=0

где a _i и b _i — однородные многочлены степени i от x и y . Точки пересечения X и Y соответствуют решениям этой системы уравнений. Сформируем матрицу Сильвестра ; в случае m =4, n =3 это

S={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&0&0\\0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&0\\0&0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0&0&0\\0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0&0\\0&0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0\\0&0&0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{pmatrix}}.

Определитель | S | матрицы S , который также называется результантом двух многочленов, равен 0 в точности тогда, когда два уравнения имеют общее решение при данном z . Определитель | S | является однородным многочленом от x и y и одно из его слагаемых есть (a ₀ ) ⁿ (b _n ) ^m , поэтому определитель имеет степень mn . По основной теореме алгебры он может быть разложен на mn линейных множителей, так что имеется mn решений системы уравнений. Линейные множители соответствуют прямым, соединяющим начало координат с точками пересечения.

Примечания

(англ.) ( . Complex Algebraic Curves (неопр.) . — United Kingdom: Cambridge University Press , 1992. — ISBN 0-521-42353-8 .
Harold Hilton . (Oxford 1920), p. 10