Interested Article - Телесный угол

Произвольный телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей , выходящих из данной точки ( вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы . Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность . Обозначается телесный угол обычно буквой Ω .

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

Телесный угол равный одному стерадиану

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Единицы телесного угла

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан , равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r 2 . Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла. Полная сфера образует телесный угол, равный 4 π стерадиан ( полный телесный угол ), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Полный телесный угол иногда называют спат ( англ. spat ) .

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность .

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

Стерадиан (ср) Кв. градус ( ☐° ) Кв. минута ( ☐′ ) Кв. секунда ( ☐′′ ) Полный угол (спат)
1 стерадиан = 1 (180/ π )² ≈
≈ 3282,806 кв. градусов
(180×60/ π )² ≈
≈ 1,1818103⋅10 7 кв. минут
(180×60×60/ π )² ≈
≈ 4,254517⋅10 10 кв. секунд
1/4 π
≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус = ( π /180)² ≈
≈ 3,0461742⋅10 −4 стерадиан
1 60² =
= 3600 кв. минут
(60×60)² =
= 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈
≈ 2,424068⋅10 −5 полного угла
1 кв. минута = ( π /(180×60))² ≈
≈ 8,461595⋅10 −8 стерадиан
1/60² ≈
≈ 2,7777778⋅10 −4 кв. градусов
1 60² =
= 3600 кв. секунд
π /(2×180×60)² ≈
≈ 6,73352335⋅10 −9 полного угла
1 кв. секунда = ( π /(180×60×60))² ≈
≈ 2,35044305⋅10 −11 стерадиан
1/(60×60)² ≈
≈ 7,71604938⋅10 −8 кв. градусов
1/60² ≈
≈ 2,7777778⋅10 −4 кв. минут
1 π /(2×180×60×60)² ≈
≈ 1,87042315⋅10 −12 полного угла
Полный угол = 4 π
≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/ π
≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/ π
≈ 1,48511066⋅10 8 кв. минут
(2×180×60×60)²/ π
≈ 5,34638378⋅10 11 кв. секунд
1

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω , под которым она видна из начала координат, равен

где сферические координаты элемента поверхности — его радиус-вектор , — единичный вектор, нормальный к

Свойства телесных углов

  1. Полный телесный угол (полная сфера) равен 4 π стерадиан.
  2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника , равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

  • Треугольник с координатами вершин , , виден из начала координат под телесным углом
где смешанное произведение данных векторов, скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен Если известны радиус основания и высота конуса, то Когда угол раствора конуса мал, (угол выражен в радианах), или (угол выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10 −5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
  • Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
  • Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы при вершине, как:
где — полупериметр.
Через двугранные углы телесный угол выражается как:
  • Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда ) равен полного телесного угла, или стерадиан.
  • Телесный угол, под которым видна грань правильного N -гранника из его центра, равна полного телесного угла, или стерадиан.
  • Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса
    Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода :
при
при
где и — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;
— расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;
— высота конуса;
— длина максимальной образующей конуса;

Литература

  • Hopf H. // ETH Zürich lecture, pp. 1—2, 1940.
  • Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle (англ.) // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1983. — Vol. 30. — P. 125—126. — ISSN . — doi : . — . [ ]
  • Weisstein E. W. . From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  • Gardner R.P., Verghese K. On the solid angle subtended by a circular disc (англ.) // Nuclear Instruments and Methods. — 1971. — Vol. 93. — P. 163—167. — doi : . — Bibcode : . [ ]

См. также

Примечания

  1. Грабовски Б. Справочник по электронике / Пер. с фр. А. В. Хаванов. — 2-е изд., испр.. — М. : ДМК Пресс, 2009. — С. 18. — 416 с.
  2. Paxton F. (англ.) // Review of Scientific Instruments. — 1959. — April ( vol. 30 , no. 4 ). — P. 254—258 . — doi : . — Bibcode : . 7 августа 2017 года.
Источник —

Same as Телесный угол