Квазипра́вильный многогра́нник (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») — полуправильный многогранник , который имеет в точности два вида правильных граней , поочерёдно следующих вокруг каждой вершины. Эти многогранники , а потому на шаг ближе к правильным многогранникам , чем полуправильные, которые лишь вершинно транзитивны .

Квазиправильные фигуры

(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\6\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\7\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\8\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\\infty \end{Bmatrix}}}$
r{3,3}	r{3,4}	r{3,5}	r{3,6}
Квазиправильные многогранники или мозаики имеют в точности два типа правильных граней, которые располагаются поочерёдно вокруг каждой вершины. Их вершинные фигуры являются прямоугольниками .

Существует только два выпуклых квазиправильных многогранника, кубооктаэдр и икосододекаэдр . Имена этих многогранников, данные Кеплером , происходят от понимания, что их грани содержат все грани двойственной пары куба и октаэдра в первом случае, и двойственной пары икосаэдра и додекаэдра во втором.

Эти формы, представленные парой (правильным многогранником и двойственным ему), могут быть заданы вертикальным символом Шлефли ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ или r{p, q} для представления граней как правильного {p, q} , так и двойственного {q, p} многогранников. Квазиправильный многогранник с этим символом имеет p.q.p.q (или (p.q) ² ).

В более общем случае квазиправильные фигуры могут иметь (p.q) ^r , представляющую r (2 или более) граней разного вида вокруг вершины.

Мозаики на плоскости могут быть также квазиправильными, в частности тришестиугольная мозаика с вершинной конфигурацией (3.6) ² . существуют в гиперболической плоскости, например, (3.7) ² . Сюда входят мозаики (p.q) ² , с 1/p+1/q<1/2.

Некоторые правильные многогранники и мозаики (имеющие чётное число граней в каждой вершине) могут также рассматриваться как квазиправильные путём разделения граней на два множества (как если бы мы их выкрасили в разные цвета). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может быть квазиправильной и будет иметь вершинную кофигурацию (p.p) ^q/2 , если q чётно.

Правильные и квазиправильные фигуры

Прямоугольные треугольники (p p 2)
{3,4} r{3,3}	{4,4} r{4,4}	{5,4} r{5,5}	{6,4} r{6,6}	{7,4} r{7,7}	{8,4} r{8,8}	{∞,4} r{∞,∞}
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\5\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}6\\6\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}7\\7\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}8\\8\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\infty \\\infty \end{Bmatrix}}}$
(3.3) 2	(4.4) 2
	Квадратный паркет
Треугольники общего вида (p p 3)
{3,6}
(3.3) 3	(4.4) 3	(5.5) 3	(6.6) 3	(7.7) 3	(8.8) 3	(∞.∞) 3
Треугольники общего вида (p p 4)
(3.3) 4	(4.4) 4	(5.5) 4	(6.6) 4	(7.7) 4	(8.8) 4	(∞.∞) 4
Правильный многогранник или мозаика могут считаться квазиправильными, если они имеют чётное число граней при каждой вершине (а потому могут быть выкрашены в два цвета, чтобы соседние грани имели разные цвета).

Октаэдр можно считать квазиправильным как тетратетраэдр , (3 _a .3 _b ) ² , с раскрашенными попеременно треугольными гранями. Подобным же образом квадратную мозаику (4 _a .4 _b ) ² можно считать квазиправильной, если раскрасить в стиле шахматной доски . Также и грани треугольной мозаики могут быть выкрашены в два альтернативных цвета, (3 _a .3 _b ) ³ .

Построение Витхоффа

Правильные ( p | 2 q ) и квазиправильные многогранники ( 2 | p q ) получаются построением Витхоффа с генераторной точкой на одном из 3 углов фундаментальной области. Это задаёт единственное ребро внутри фундаментальной области.

Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий вида p | q r , и он будет правильным, если q=2 или q=r .

Диаграммы Коксетера — Дынкина является другой формой символического представления, которое позволяет показать связь между двумя двойственно-правильными формами:

Символ Шлефли		Диаграммы Коксетера — Дынкина
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	{p, q}		q | 2 p
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	{q, p}		p | 2 q
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	r{p, q}		2 | p q

Выпуклые квазиправильные многогранники

Существует два выпуклых квазиправильных многогранника:

1. Кубооктаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$ , вершинная конфигурация (3.4) ² , диаграмма Коксетера — Дынкина
2. Икосододекаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$ , вершинная конфигурация (3.5) ² , диаграмма Коксетера — Дынкина

Кроме того, октаэдр , являющийся также правильным , ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ , с вершинной конфигурацией (3.3) ² , может также считаться квазиправильным, если соседним граням дать различные цвета. В таком виде его иногда называют тетратетраэдром. Оставшиеся выпуклые правильные многогранники имеют нечётное число граней при каждой вершине и не могут быть выкрашены так, чтобы обеспечить транзитивность рёбер. Тетратетраэдр имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Каждый из них образует общее ядро двойственной пары правильных многогранников . Имена (двух из) этих ядер напоминают о связанных двойственных парах, соответственно куб + октаэдр и икосаэдр + додекаэдр . Октаэдр является ядром двойственной пары тетраэдров , и при таком способе получения обычно называют его тетратетраэдром .

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетратетраэдр r{3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Куб {4,3} 3 | 2 4	Октаэдр {3,4} 4 | 2 3	Кубооктаэдр r{3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Додекаэдр {5,3} 3 | 2 5	Икосаэдр {3,5} 5 | 2 3	Икосододекаэдр r{3,4} 2 | 3 5	3.5.3.5

Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью полного усечения любого из родителей, усекая рёбра полностью, пока они не превратятся в точки.

Квазиправильные мозаики

Эту последовательность продолжает тришестиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.6.3.6 — квазиправильная мозаика , основанная на треугольной мозаике и шестиугольной мозаике .

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
шестиугольная мозаика {6,3} 6 | 2 3	треугольная мозаика {3,6} 3 | 2 6	тришестиугольная мозаика r{5,3} 2 | 3 6	3.6.3.6

Рисунок шахматной доски является квазиправильной раскраской квадратной мозаики с вершинной фигурой 4.4.4.4 :

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	r{4,4} 2 | 4 4	4.4.4.4

Треугольную мозаику можно также считать квазиправильной, с тремя множествами альтернированных треугольников в каждой вершине, (3.3) ³ :

h{6,3} 3 | 3 3 =

На гиперболической плоскости ( плоскости Лобачевского ) эта последовательность продолжается дальше, например, с вершинной фигурой 3.7.3.7 — это квазиправильная мозаика , основанная на треугольной мозаике 7-го порядка и семиугольной мозаике .

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Семиугольная мозаика {7,3} 7 | 2 3	Треугольный паркет {3,7} 3 | 2 7	r{3,7} 2 | 3 7	3.7.3.7

Невыпуклые примеры

Коксетер и др. (1954) классифицировали также некоторые звёздчатые многогранники , имеющие квазиправильные характеристики:

Два многогранника основываются на двойственных парах правильных тел Кеплера — Пуансо .

Большой икосододекаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}}$ и додекододекаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}}$ :

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Большой звёздчатый додекаэдр { 5 / 2 ,3} 3 | 2 5/2	Большой икосаэдр {3, 5 / 2 } 5/2 | 2 3	Большой икосододекаэдр r{3, 5 / 2 } 2 | 3 5/2	3. 5 / 2 .3. 5 / 2
Малый звёздчатый додекаэдр { 5 / 2 ,5} 5 | 2 5/2	Большой додекаэдр {5, 5 / 2 } 5/2 | 2 5	Додекододекаэдр r{5, 5 / 2 } 2 | 5 5/2	5. 5 / 2 .5. 5 / 2

Наконец, существует три вида, вершинные фигуры которых содержат три перемежающихся типа граней:

Рисунок	Название многогранника Диаграмма Коксетера	Вершинная фигура
	3 | 5/3 5 or	(5.5/3) 3
	3 | 5/2 3 or	(3.5/2) 3
	3/2 | 3 5 or	((3.5) 3 )/2

Квазиправильные двойственные

Некоторые авторы высказывают мнение, что, поскольку двойственные многогранники к квазиправильным имеют те же симметрии, эти двойственные тела тоже следует считать квазиправильными, но не все математики придерживаются такого мнения. Эти двойственные многогранники транзитивны относительно своих рёбер и граней (но не вершин). Они являются рёберно транзитивными . Выпуклые формы, согласно порядку многогранника (как выше):

1. Ромбододекаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 8 вершин с тремя ромбическими гранями, и 6 вершин с четырьмя ромбическими гранями.
2. Ромботриаконтаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 20 вершин с тремя ромбическими гранями, и 12 вершин с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, будучи двойственным октаэдру, куб , являющийся , может быть сделан квазиправильным, если раскрасить его вершины в два цвета, так, чтобы вершины на одном ребре имели разные цвета.

Их конфигурация грани имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Коксетера — Дынкина

Куб V(3.3) 2	Ромбододекаэдр V(3.4) 2	Ромботри- аконтаэдр V(3.5) 2	Ромбическая мозаика V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2

Эти три квазиправильных двойственных многогранника характерны наличием ромбических граней.

Эта ромбическая структура граней продолжает V(3.6) ² , ромбическая мозаика .

Квазиправильные многогранники в 4-мерном пространстве и квазиправильные соты

В евклидовом 4-мерном пространстве правильный шестнадцатиячейник можно считать квазиправильным как альтернированный тессеракт , h{4,3,3}, Диаграммы Коксетера — Дынкина : = , состоящий из альтернированных тетраэдраэдральных и тетраэдральных ячеек . Его вершинная фигура — это квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдральной симметрией), .

Единственные квазиправильные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — , h{4,3,4}, диаграмма Коксетера — Дынкина: = , состоящие из альтернированных тетраэдральных и октаэдральных ячеек . Их вершинные фигуры являются квазиправильными кубооктаэдрами , .

В гиперболическом 3-мерном пространстве квазиправильными сотами являются , h{4,3,5}, диаграммы Коксетера — Дынкина: = , составленные из альтернированных тетраэдральных и икосаэдральных ячеек . Вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр , . Связанные паракомпактные , h{4,3,6} имеют альтернированные тетраэдральные и шестиугольные мозаичные ячейки с вершинной фигурой, которая является тришестиугольной мозаикой , .

Квазиправильные многогранники и соты: h{4,p,q}

Пространство	Конечное	Аффинное	Компактное	Паракомпактное
Название	h{4,3,3}
	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 4}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 5}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 6}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 4}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 4}\right\}}$
Диаграмма Коксетера
Рисунок
Вершинная фигура r{p,3}

Можно уменьшить симметрию правильных многогранных сот вида {p,3,4} или как и получить квазиправильный вид , создавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Это можно сделать для евклидовых кубических сот {4,3,4} с кубическими ячейками, для компактных гиперболических сот {5,3,4} с додекаэдральными ячейками и паракомпактных сот {6,3,4} с конечными шестиугольными мозаичными ячейками. Они имеют четыре ячейки вокруг каждого ребра, попеременно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные тетраэдры, = .

Правильные и квазиправильные соты: {p,3,4} и {p,3 ^1,1 }

Пространство	Евклидово 4-мерное	Евклидово 3-мерное	Гиперболическое 3-мерное
Название	{3,3,4} {3,3 1,1 } = ${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = ${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 3}\right\}}$	{5,3,4} = ${\displaystyle \left\{5,{3 \atop 3}\right\}}$	{6,3,4} = ${\displaystyle \left\{6,{3 \atop 3}\right\}}$
Диаграмма Коксетера	=	=	=	=
Рисунок
Ячейки {p,3}

Таким же образом можно уменьшить вдвое симметрию правильных гиперболических сот вида {p,3,6} или как и получить квазиправильный вид , задавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Они имеют шесть ячеек вокруг каждого ребра, поочерёдно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные треугольные мозаики , .

: {p,3,6} и {p,3 ^[3] }

Вид	Паракомпактные				Некомпактные
Название	{3,3 [3] }	{4,3 [3] }	{5,3 [3] }	{6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞,3,6} {∞,3 [3] }
Рисунок
Ячейки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}

См. также

• Хиральный многогранник
• Полное усечение (геометрия)

Примечания

Литература

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . Quasi-regular polyhedra: (p.q) ^r
• George Hart, 2 сентября 2013 года.