Interested Article - Точка округления

Точка округления ( круговая точка , омбилическая точка или омбилика ) ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве , в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.

Название « омбилика » происходит от французского «ombilic», которое, в свою очередь, происходит от латинского «umbilicus» ― «пуп».

Точки округления и сеть линий кривизны поверхности вокруг них. В случае общего положения существуют три топологические различные типа особенности, часто называемые «лимон», «звезда» и «монстар»

Свойства

В точке округления:

главные кривизны поверхности совпадают.
Первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны.
любое касательное направление является главным направлением .
является параболоидом вращения .
Индикатриса Дюпена является окружностью .
Сеть линий кривизны (то есть линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности), имеет особенность .
Любая точка округления является либо эллиптической точкой поверхности (если главные кривизны не равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна поверхности в данной точке положительная), либо так называемой плоской точкой округления (если главные кривизны равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности в данной точке равны нулю). В первом случае в малой окрестности точки округления поверхность похожа на сферу, а во втором — на плоскость.

Примеры

Точки округления на трёхосном эллипсоиде

В евклидовом пространстве с метрикой $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ :

Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
Трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптические и относятся к типу «лимон».
Плоскость целиком состоит из плоских точек округления.
Обезьянье седло имеет изолированную плоскую точку округления в начале координат.

Гипотеза Каратеодори

Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления . Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая .

Обобщение

Пусть $M$ ― гладкое многообразие произвольной размерности $n\geq 2$ в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке $x\in M$ определены $n$ собственных значений $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении $TM$ . Точка $x\in M$ называется омбиликой , если в ней набор $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, то есть задается на $M$ двумя независимыми уравнениями. Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы ( $\dim =2-2=0$ ), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую ( $\dim =3-2=1$ ).

Литература

Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135 .
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
Porteous I.R. — Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.

Примечания

↑
(неопр.) . Дата обращения: 13 октября 2014. 19 октября 2014 года.
(неопр.) Дата обращения: 13 октября 2014. 10 ноября 2014 года.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики, ― Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров).