Interested Article - Совершенная группа

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа ― группа $G$ , такая что отображение $G\to Aut(G)$ является изоморфизмом . Это отображение посылает элемент $g\in G$ в автоморфизм сопряжения $s_{g}:h\to ghg^{-1}$ . Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра , а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Примерами являются симметрические группы $S_{n}$ при $n\neq 2,6$ (теорема Гёльдера ); при этом группа $S_{2}=\mathbb {Z} _{2}$ имеет нетривиальный центр, а у группы $S_{6}$ существует .

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу , а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой $G=Aut(G)$ , но которая не является совершенной, является группа диэдра $D_{4}$ .

Примечания

Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 2-е изд. — Москва: Наука, 1977. — С. 62. — 240 с.
Robinson, section 13.5

Литература

Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).