Квазициклическая p -группа , для фиксированного простого числа p — это единственная p -группа , в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p -й степени. Обычно обозначается как Z ( p ^∞ )

Квазициклическую p -группу также её называют p -группой Прюфера , в честь немецкого математика Хайнца Прюфера .

Свойства

Квазициклическая p -группа может быть представлена как подгруппа U(1) , состоящая из комплексных корней из единицы степени p ⁿ , где n пробегает все натуральные числа:

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \mathbb {N} \}.\;}$

Эквивалентным образом, квазициклическую p -группу можно рассматривать как подгруппу Q/Z , состоящую из элементов, порядок которых является степенью p :

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .}$

Также p -группа Прюфера может быть задана образующими и соотношениями:

${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .}$

Квазициклическая p -группа — это единственная бесконечная p -группа, являющаяся (то есть такой, что любое конечное подмножество её элементов порождает циклическую группу ). Нетрудно видеть, что все собственные подгруппы квазициклической группы являются циклическими.

Квазициклическая группа является делимой .

В теории локально компактных топологических групп квазициклическая p -группа, снабжённая дискретной топологией , является двойственной по Понтрягину к компактной группе целых p -адических чисел .

Квазициклические p -группы, для всевозможных простых p — это единственные бесконечные группы, такие что множество их подгрупп линейно упорядочено по вложению:

${\displaystyle 0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty }).}$

На этой цепочке включений p -группа Прюфера представлена как прямой предел своих конечных подгрупп.

Как ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -модуль, p -группа Прюфера является артиновой , но не является нётеровой (аналогично, она является артиновой , но не нётеровой группой). В таком качестве она является контрпримером к возможному утверждению о том, что любой артинов модуль нётеров.

Ссылки

• (англ.) на сайте PlanetMath .
• Н. Н. Вильямс. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Jacobson, Nathan. . — Dover, 2009. — ISBN 978-0-486-47187-7 .
• Pierre Antoine Grillet. . — Springer, 2007. — ISBN 978-0-387-71567-4 .
• D. L. Armacost and W. L. Armacost. (англ.) // Pacific J. Math.. — 1972. — Vol. 41, no. 2 . — P. 295–301.