Говорят, что группа почти проста , если она содержит неабелеву простую группу и содержится в группе автоморфизмов этой простой группы. В символьной записи группа A почти проста, если существует простая группа S , такая, что ${\displaystyle S\leq A\leq \operatorname {Aut} (S)}$ .

Примеры

• Тривиально, неабелевы простые группы и полные группы автоморфизмов почти просты, но существуют примеры почти простых групп, не являющихся ни простыми, ни полными группами автоморфизмов.
• Для ${\displaystyle n=5}$ или ${\displaystyle n\geqslant 7}$ симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ является группой автоморфизмов простой знакопеременной группы ${\displaystyle A_{n},}$ так что ${\displaystyle S_{n}}$ является почти простой в этом тривиальном смысле.
• Для ${\displaystyle n=6}$ существует чистый пример, так как ${\displaystyle S_{6}}$ находится чисто между простой группой ${\displaystyle A_{6}}$ и ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{6}),}$ вследствие группы ${\displaystyle A_{6}}$ . Две другие группы, группа Матьё ${\displaystyle M_{10}}$ и проективная полная линейная группа ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(9)}$ , также находятся чисто между ${\displaystyle A_{6}}$ и ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{6}).}$

Свойства

Группа автоморфизмов неабелевой простой группы является полной группой (отображение смежных классов является изоморфизмом в группу автоморфизмов), но собственная подгруппа полной группы автоморфизмов не обязательно полна.

Структура

Согласно , ныне повсеместно принятой как следствие классификации простых конечных групп , конечной простой группы является разрешимой группой . Таким образом, конечная простая группа является расширяемой разрешимой группы по простой группе.

См. также

• Полупростая группа

Примечания

Литература

Ссылки

• от 30 августа 2009 на Wayback Machine at the Group Properties wiki