Interested Article - Компактификация
![](/images/007/841/7841089/1.jpg?rand=431366)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/6a9eefbaf125c6defe001275ae752476.gif)
- 2021-05-24
- 2
Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные .
Определение
Формально компактификация пространства определяется как пара , где компактно, вложение такое, что плотно в .
Примеры
- Вещественная проективная плоскость является одной из компактификаций Евклидовой плоскости . Другая её (одноточечная) компактификация гомеоморфна сфере.
Одноточечная компактификация
Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова ) устроена следующим образом. Пусть и открытыми множествами в считаются все открытые множества , а также множества вида , где имеет замкнутое и компактное (в ) дополнение. берётся как естественное вложение в . тогда компактификация, причём хаусдорфово тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно .
Примеры
-
с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
- В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция ), целая окружность гомеоморфна с .
- Аналогично, гомеоморфно -мерной сфере .
Компактификация Стоуна — Чеха
На компактификациях некоторого фиксированного пространства можно ввести частичный порядок . Положим для двух компактификаций , , если существует непрерывное отображение такое, что . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма ) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха и обозначается . Для того, чтобы у пространства существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно , чтобы удовлетворяло аксиоме отделимости , то есть было вполне регулярным .
Примечания
- Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/6a9eefbaf125c6defe001275ae752476.gif)
- 2021-05-24
- 2