В теории групп преобразования Титце используются для преобразования исходного задания группы в другое, часто более простое задание той же самой группы . Преобразования названы именем Генриха Титце , предложившего их в статье 1908 года.

Задание группы осуществляется в терминах генераторов и соотношений . Формально говоря, задание группы — это пара, состоящая из множества генераторов и множества слов из свободной группы над генераторами, которые рассматриваются как соотношения. Преобразования Титце строятся на элементарных шагах, каждое из которых очевидным образом переводит задание в задание изоморфной группы . В 1908 году Титце показал, что из исходного задания для группы G можно получить любое другое задание повторным применением четырёх видов преобразований, представленных ниже .

Добавление соотношения

Если соотношение может быть выведено из существующих соотношений, то их можно добавить к заданию без изменения группы. Пусть G=〈 x | x ³ =1 〉— это конечное задание циклической группы порядка 3. Умножив обе стороны соотношения x ³ =1 на x ³ , мы получим x ⁶ = x ³ = 1, так что x ⁶ = 1 выводимо из x ³ =1. Тогда G=〈 x | x ³ =1, x ⁶ =1 〉является другим заданием той же самой группы.

Удаление соотношения

Если соотношение может быть выведено из других соотношений, его можно удалить из задания без изменения группы. В задании G = 〈 x | x ³ = 1, x ⁶ = 1 〉соотношение x ⁶ = 1 может быть получено из x ³ = 1, так что его можно удалить. Заметим, однако, что если удалить соотношение x ³ = 1 из задания группы, задание G = 〈 x | x ⁶ = 1 〉 определяет циклическую группу порядка 6 и уже не задаёт ту же самую группу. Следует быть осторожными и удалять соотношение только в том случае, когда его можно вывести из оставшихся соотношений.

Добавление генератора

Если дано задание группы, можно добавить новый генератор, который выражается как слово в исходных генераторах. Начиная с задания G = 〈 x | x ³ = 1 〉 и устанавливая y = x ² , получим новое задание G = 〈 x , y | x ³ = 1, y = x ² 〉 , определяющее ту же самую группу.

Удаление генератора

Если соотношение имеет вид p = V , где p — генератор, а V слово, в которое p не входит, генератор можно удалить. При этом все вхождения p в другие слова следует заменить на V . Задание порядка 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y ² =1, z ² =1, x=x ⁻¹ 〉 может быть заменено на G = 〈 y , z | y ² = 1, z ² = 1, ( yz ) = ( yz ) ⁻¹ 〉 путём удаления x .

Примеры

Пусть G = 〈 x , y | x ³ = 1, y ² = 1, ( xy ) ² = 1 〉— задание симметрической группы степени три. Генератор x соответствует перестановке (1,2,3), а генератор y — перестановке (2,3). Используя преобразования Титце, можно перевести это задание в G = 〈 y , z | ( zy ) ³ = 1, y ² = 1, z ² = 1 〉, где z соответствует перестановке (1,2).

См. также

• ^*

Примечания

Литература

• , Paul E Schupp. Combinatorial Group Theory. — Springer, 2001. — ISBN 3-540-41158-5 .
• В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. — М. : «Наука», 1974.