Симплициальный компле́кс , или симплициальное пространство , — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией , то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

Определения

Симплициальный комплекс

Симплициальный комплекс — топологическое пространство , представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.

Геометрический комплекс

Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве .

Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:

• с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
• любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
• у любой точки ${\displaystyle x}$ комплекса есть окрестность ${\displaystyle U}$ такая, что если ${\displaystyle U}$ пересекается с симплексом комплекса ${\displaystyle \Delta }$ , то ${\displaystyle x\in \Delta }$ .

Часто дополнительно требуют локальную конечность , то есть должно выполняться следующее условие:

• любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.

Абстрактный комплекс

— это множество ${\displaystyle V}$ с выделенным набором его конечных подмножеств ${\displaystyle S}$ таких, что если ${\displaystyle X\in S}$ и ${\displaystyle Y\subset X,}$ то ${\displaystyle Y\in S}$ .

При этом элементы множества ${\displaystyle V}$ называются вершинами комплекса , а элементы множества ${\displaystyle S}$ называются его симплексами .

Связанные определения

• n -мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n .
• Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.

Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K .

• Замыкание ${\displaystyle S}$ (обозначается ${\displaystyle {\textrm {Cl}}S}$ ) есть наименьший подкомплекс в ${\displaystyle K}$ , содержащий каждый симплекс из ${\displaystyle S}$ . Замыкание ${\displaystyle {\bar {S}}}$ может быть получено путём добавления к ${\displaystyle S}$ всех граней всех симплексов из ${\displaystyle S}$ .

• 
  Два симплекса и их замыкание.

• Звезда от ${\displaystyle S}$ (обозначается ${\displaystyle {\textrm {St}}S}$ ) — объединение звёзд всех симплексов в ${\displaystyle S}$ . Для одного симплекса ${\displaystyle S}$ звезда ${\displaystyle S}$ — это набор симплексов, имеющих ${\displaystyle S}$ своей гранью. (Звезда - S , как правило, не является симплициальным комплексом).

• 
  Вершина и её звезда
• 
  Вершина и её линк

• Линк ${\displaystyle S}$ (обозначается ${\displaystyle {\textrm {Lk}}S}$ ) может быть определён как

  ${\displaystyle {\textrm {Lk}}S={\textrm {Cl}}({\textrm {St}}S)\backslash {\textrm {St}}({\textrm {Cl}}S).}$

Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из ${\displaystyle S,}$ но не имеющие граней из ${\displaystyle S}$ .

См. также

• Псевдомногообразие

Примечания

Литература

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)