Формальное дифференцирование — операция над элементами кольца многочленов или кольца формальных степенных рядов , повторяющая взятие производной из математического анализа , но не опирающееся на понятие предела , которое невозможно определить для произвольного кольца . Многие свойства производной верны и для формального дифференцирования, но некоторые, особенно касающиеся утверждений, содержащих числа, не верны. Одно из важных применений формального дифференцирование в алгебре — проверка кратности корней полиномов.

Определение

Определение формального дифференцирования таково: зафиксируем кольцо ${\displaystyle R}$ (не обязательно коммутативное), пусть ${\displaystyle A=R[x]}$ является кольцом многочленов над ${\displaystyle R}$ . Тогда формальное дифференцирование представляет собой действие над элементами ${\displaystyle A}$ , при котором если

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

то формальная производная равна

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1}}$

как и в случае многочленов над вещественными или комплексными числами.

Заметим, что выражение ${\displaystyle na_{n}}$ означает не умножение в кольце, но ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{n},}$ где ${\displaystyle k}$ не используется под знаком суммы.

Следует отметить, что для некоммутативных колец данное определение встречается со следующим затруднением: сама формула корректна, но не любой многочлен представляется в стандартном виде. Использование такого определения приводит к сложностям при доказательстве формулы ${\displaystyle (f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b}$ .

Альтернативные варианты определения, подходящие для некоммутативных колец

Пусть для ${\displaystyle r\in R}$ справедливо ${\displaystyle r'=0,}$ пусть также ${\displaystyle x'=1.}$ Определим производную для выражений типа ${\displaystyle (a+b)'=a'+b',}$ и ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.}$

Докажем, что такое определение даст один и тот же результат для выражения вне зависимости от способа его получения, следовательно, определение совместимо с аксиомами равенства.

• ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',}$
• ${\displaystyle ((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+(b+c)'=(a+(b+c))',}$
• ${\displaystyle (a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=}$

${\displaystyle =(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',}$

• ${\displaystyle ((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b'c)+(ac'+bc')=}$

${\displaystyle =\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac')+(b'c+bc')=}$

${\displaystyle =(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.}$

Линейность следует из определения.

Формула для производной от многочлена (в стандартном виде для коммутативных колец) является следствием определения: ${\displaystyle (\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}.}$

Свойства

Можно доказать ряд следующих утверждений.

• Формальное дифференцирование линейно: для любых двух многочленов ${\displaystyle f(x),g(x)}$ и элементов ${\displaystyle r,s}$ из ${\displaystyle R}$ верно

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$

Если ${\displaystyle R}$ некоммутативно, существует другой вид свойства линейности, при котором ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ располагаются справа. Если в ${\displaystyle R}$ нет единичного элемента, то формула не приводится к виду суммы многочленов или суммы одного многочлена и кратного другому многочлену.

• Для формального дифференцирования выполняется правило произведения :

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

Отметим важность порядка множителей в случае некоммутативного кольца ${\displaystyle R}$ .

Два данных свойства делают ${\displaystyle D}$ дифференцированием алгебры ${\displaystyle A}$ .

Применение

Производная позволяет определить наличие кратных корней: если ${\displaystyle R}$ является полем, то ${\displaystyle R[x]}$ является евклидовым кольцом , для которого можно определить понятие кратности корня; для многочлена ${\displaystyle f(x)}$ и элемента ${\displaystyle r}$ из ${\displaystyle R}$ существует неотрицательное целое число ${\displaystyle m_{r}}$ и многочлен ${\displaystyle g(x)}$ , такие что

${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x),}$

где ${\displaystyle g(r)}$ не равно ${\displaystyle 0}$ . Степень ${\displaystyle m_{r}}$ показывает кратность ${\displaystyle r}$ как корня ${\displaystyle f}$ . Из правила произведения следует, что ${\displaystyle m_{r}}$ также является количеством применений операции дифференцирования, которые можно провести над ${\displaystyle f(x)}$ до тех пор, пока ${\displaystyle r}$ не перестанет быть корнем оставшегося многочлена. Несмотря на то, что не любой многочлен степени ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle R[x]}$ имеет ${\displaystyle n}$ корней с учётом кратности (это лишь максимальное количество), можно перейти к расширению поля , в котором это утверждение справедливо (см. алгебраическое замыкание ). После перехода к расширению поля могут в том числе найтись и кратные корни, не являющиеся корнями над ${\displaystyle R}$ . Например, если ${\displaystyle R}$ является полем с тремя элементами, то многочлен

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

не имеет корней в ${\displaystyle R}$ ; но формальная производная равна нулю, поскольку 3 = 0 в ${\displaystyle R}$ и в любом расширении ${\displaystyle R}$ , поэтому при переходе к алгебраическому замыканию мы обнаружим кратный корень, который невозможно найти в ${\displaystyle R}$ . Следовательно, понятие кратности, определённое при помощи формального дифференцирования, может быть эффективно проверено. Это оказывается особенно важным в теории Галуа , позволяя различать сепарабельные и несепарабельные расширения поля.

Соответствие аналитической производной

Если кольцо чисел ${\displaystyle R}$ коммутативное, то существует другое эквивалентное определение формальной производной, напоминающее определение из анализа. Элемент ${\displaystyle Y-X}$ кольца ${\displaystyle R[X,Y]}$ является делителем ${\displaystyle Y^{n}-X^{n}}$ при любом неотрицательном целом ${\displaystyle n}$ , следовательно, является делителем ${\displaystyle f(Y)-f(X)}$ для любого многочлена ${\displaystyle f}$ . Обозначим частное (в ${\displaystyle R[X,Y]}$ ) как ${\displaystyle g}$ :

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}},}$

тогда несложно доказать, что ${\displaystyle g(X,X)}$ (в ${\displaystyle R[X]}$ ) совпадает с формальным определением производной ${\displaystyle f}$ , указанным выше.

Такое определение производной пригодно для формальных степенных рядов в предположении коммутативности кольца скаляров.

Примечания

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001