Interested Article - Теорема об изменении количества движения системы

Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики , является следствием законов Ньютона . Связывает количество движения с импульсом внешних сил , действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел .

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает :

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта . В этом случае к внешним силам необходимо добавлять переносные и кориолисовы силы инерции .

Доказательство

Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

  • Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i , обозначим .
  • Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку — . Очевидно, что если , то

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Учитывая, что , и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Используя для количества движения системы обозначение , получим

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

где и — значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а — импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями, выполняется

Закон сохранения количества движения системы

Из теоремы об изменении количества движения системы следует, что в отсутствие внешних сил (замкнутая система), а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю выполняется и . Иначе говоря, справедливо соотношение

Таким образом, следует вывод:

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

Данное утверждение составляет содержание закона сохранения количества движения системы .

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. Тогда равно нулю и изменение проекции количества движения системы на это направление, то есть, как говорят, сохраняется количество движения в этом направлении .

Случай системы с идеальными стационарными связями

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа .

Теорема об изменении количества движения системы с идеальными стационарными связями утверждает :

Если идеальные стационарные связи допускают в любой момент поступательное перемещение системы параллельно некоторой неподвижной оси , то производная по времени от проекции количества движения системы на ось равна сумме проекций на ту же ось всех действующих на систему внешних активных сил.

«Активные» применительно к силам (ниже они помечены символом в формулах) означает «не являющиеся реакциями связей».

Действительно, по условию, в любой момент все точки системы допускают смещение на параллельно неподвижной оси . Заменяя в общем уравнении динамики на , получаем:

или

или

окончательно находим:

В предпоследнем уравнении в сумму активных сил включены внешние активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю, поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние (введён добавочный значок от англ. external ) активные силы.

История

О законе сохранения количества движения Исаак Ньютон в своём знаменитом труде « Математические начала натуральной философии », изданном в 1687 году , писал: «Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою» . Комментатор, в связи с этой формулировкой, отмечает, что, хотя в ней рассматривается только случай движения тел по одной прямой, И. Ньютон, как показывают его другие высказывания в той же книге, в своих воззрениях этим частным случаем не ограничивался .

См. также

Примечания

  1. Тарг С. М. // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Советская энциклопедия , 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616—617. — 707 с. — 100 000 экз.
  2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9 .
  3. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М. : ЧеРО, 1999. — С. 157—159. — 572 с.
  4. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение , 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
  5. , Маланин В. В. , Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5
  6. Исаак Ньютон . Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова . — М. : Наука, 1989. — С. 45. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1 .
Источник —

Same as Теорема об изменении количества движения системы