Interested Article - Плоскость Фано

Двойственность плоскости Фано — каждой точке соответствует прямая и наоборот.

Плоскость Фано — конечная проективная плоскость порядка 2, имеющая наименьшее возможное число точек и прямых (7 точек и 7 прямых), с тремя точками на каждой прямой и с тремя прямыми, проходящими через каждую точку. Названа по имени итальянского математика Джино Фано .

Однородные координаты

Плоскость Фано можно построить с помощью линейной алгебры как проективную плоскость над конечным полем с двумя элементами. Можно таким же образом построить проективные плоскости над любым другим конечным полем, но плоскость Фано будет наименьшей.

Используя стандартное построение проективных пространств с помощью однородных координат , семь точек плоскости Фано можно пометить семью ненулевыми тройками двоичных цифр 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111. Для любой пары точек p и q третья точка на прямой pq имеет метку, получающуюся из меток p и q сложением по модулю 2; например 110+011=101. Другими словами, точки плоскости Фано соответствуют ненулевым точкам конечного векторного пространства размерности 3 над конечным полем порядка 2.

Согласно этому построению плоскость Фано считается дезарговой, хотя плоскость слишком мала, чтобы содержать невырожденную конфигурацию Дезарга (требуется 10 точек и 10 прямых).

Прямым плоскости Фано можно также приписать однородные координаты, снова используя ненулевые тройки двоичных цифр. В этой системе точка инцидентна прямой, если координаты точки и координаты прямой имеют чётное число позиций, в которых обе координаты являются ненулевыми битами. Например, точка 101 принадлежит прямой 111, поскольку и прямая, и точка имеют ненулевые биты в двух общих позициях. В терминах линейной алгебры, точка принадлежит прямой, если скалярное произведение векторов, представляющих точку и прямую, равно нулю.

Прямые можно разделить на три типа.

На трёх прямых двоичные коды для точек имеют 0 в постоянной позиции. Так, на прямой 100 (содержащая точки 001, 010 и 011) все точки имеют 0 в первой позиции. Прямые 010 и 001 имеют то же свойство.
На трёх прямых двоичный код точек имеет одно и то же значение в двух позициях. Так, на прямой 110 (содержащей точки 001, 110 и 111) значения первой и второй позиций (координат) точек всегда одинаковы. Прямые 101 и 011 имеют аналогичное свойство.
На оставшейся прямой 111 (содержащей точки 011, 101 и 110) каждый код имеет в точности два ненулевых бита.

Симметрии

Колиинеации плоскости Фано соответствуют перестановкам 3-битного кода Грея

Перестановки семи точек плоскости Фано, сохраняющих инцидентность точек (прямой), то есть когда точка, лежащая на прямой, оказывается на той же прямой, называется «коллинеацией», « автоморфизмом » или « симметрией » плоскости. Полной группой коллинеации (или группой автоморфизмов , или группой симметрии ) является проективная линейная группа PGL(3,2) , которая в данном случае изоморфна проективной специальной линейной группе PSL(2,7) = PSL(3,2) и полной линейной группе GL(3,2) (которая равна PGL(3,2), поскольку поле имеет только один ненулевой элемент). Группа состоит из 168 различных перестановок.

Группа автоморфизмов состоит из 6 классов сопряжённости .
Все , за исключением цикла длиной 7, однозначно определяют класс сопряжённости:

Тождественная перестановка.
21 перестановка двух 2-циклов .
42 перестановки 4-циклов и 2-циклов.
56 перестановок 3-циклов.

48 перестановок с полным циклом длины 7 образуют два класса сопряжённости по 24 элемента в каждом:

A переходит в B , B в C , C в D . В этом случае D лежит на одной прямой с A и B .
A переходит в B , B в C , C в D . В этом случае D лежит на одной прямой с A и C .

Вследствие теоремы Редфилда — Пойи число неэквивалентных раскрасок плоскости Фано в n цветов равно:

{1 \over 168}\left(n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n\right).

Конфигурации

Плоскость Фано содержит следующие различные конфигурации точек и прямых. Для каждого вида конфигурации число копий конфигурации, умноженное на число симметрий плоскости, при которой конфигурация сохраняется, равно 168, размеру всей группы симметрий.

Существует 7 точек и 24 симметрии, сохраняющих эти точки.
Существует 7 прямых и 24 симметрии, сохраняющих эти прямые.
Существует 7 вариантов выбора четырёхугольника из четырёх (неупорядоченных) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и 24 симметрии, которые сохраняют такой четырёхугольник. Эти четыре точки образуют дополнение прямой, которая является диагональю четырёхугольника.
Существует 21 неупорядоченная пара точек, каждая из которых может быть переведена симметрией в любую другую неупорядоченную пару. Для каждой неупорядоченной пары существует 8 симметрий, сохраняющих её.
Существует 21 флаг , состоящий из прямой и точки на ней. Каждый флаг соответствует неупорядоченной паре других точек, лежащих на той хе прямой. Для каждого флага существует 8 различных симметрий, сохраняющих его.
Существует 28 треугольников , которые соответствуют один-к-одному 28 . Для каждого треугольника существует шесть симметрий, сохраняющих его, по одному для каждой перестановки точек внутри треугольника.
Существует 28 способов выбора точки и прямой, не инцидентных друг другу ( антифлаг ) и шесть способов перестановки плоскости Фано, сохраняющих антифлаг. Для любой пары неинцидентных точки и прямой ( p , l ) три точки, не равные p и не принадлежащие l , образуют треугольник, и для любого треугольника существует единственный способ сгруппировать оставшиеся четыре точки в антифлаг.
Существует 28 способов построения шестиугольника , в котором никакие три последовательные вершины не лежат на одной прямой, и шесть симметрий, сохраняющих любой такой шестиугольник.
Существует 42 упорядоченные пары точек и снова, каждая может быть переведена симметрией в любую другую упорядоченную пару. Для упорядоченных пар существует 4 симметрии, сохраняющих её.
Существует 42 способа выбора четырёхугольника из четырёх циклически упорядоченных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четыре симметрии, сохраняющие любой такой упорядоченный четырёхугольник. Для любой неориентированной четвёрки имеется два циклических порядка.
Существует 84 способа выбора треугольника с точкой на этом треугольнике и для каждого выбора существует две симметрии, сохраняющих этот выбор.
Существует 84 способа выбора пятиугольника , при котором никакие три последовательные вершины не лежат на одной прямой, и две симметрии, сохраняющие любой пятиугольник.
Существует 168 различных способов выбора треугольника с упорядочением его трёх вершин и только одна тождественная симметрия, сохраняющая эту конфигурацию.

Теоретико-групповые построения

7 точек плоскости соответствуют 7 неединичным элементам группы ( Z ₂ ) ³ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Прямые плоскости соответствуют подгруппам порядка 4, изоморфным Z ₂ × Z ₂ . Группа автоморфизмов группы ( Z ₂ ) ³ является группой изоморфизмов плоскости Фано и имеет порядок 168.

Блок-схемы

Плоскость Фано является малой симметричной блок-схемой , а именно, схемой 2-(7,3,1). Точки схемы являются точками плоскости, а блоки схемы являются прямыми плоскости. Таким образом, плоскость Фано является важным примером теории блок-схем.

Теория матроидов

Плоскость Фано является одним из важных примеров в теории матроидов . Исключение плоскости Фано как необходимо для описания некоторых важных классов матроидов, таких как , и кографовый матроиды.

Если разбить одну прямую на три двуточечные прямые, получим «нефанову конфигурацию», которую можно вложить в вещественную плоскость. Это другой важный пример из теории матроидов, который следует исключить, чтобы выполнялось большое число теорем.

Система Штейнера

Плоскость Фано, будучи блок-схемой, является системой троек Штайнера . А в таком случае, ей можно придать структуру квазигруппы . Эта квазигруппа совпадает с мультипликативной структурой, определённой единицами октонионов e ₁ , e ₂ , …, e ₇ (без 1) если знаки произведения октонионов игнорировать .

Трёхмерное фаново пространство

Плоскость Фано можно распространить на трёхмерный случай, чтобы образовать наименьшее трёхмерное проективное пространство, и оно обозначается PG(3,2). Оно имеет 15 точек, 35 прямых и 15 плоскостей.

Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 прямых.
Каждая прямая содержит 3 точки.
Плоскости изоморфны плоскости Фано.
Каждая точка принадлежит 7 прямым.
Каждая пара различных точек принадлежит ровно одной прямой.
Любая пара различных плоскостей пересекается в точности по одной прямой.

См. также

Примечания

На самом деле это группа PΓL(3,2), но конечное поле порядка 2 не имеет нетождественного автоморфизма, группа превращается в PGL(3,2).
, с. 457–486.
, с. 145–205.

Литература

John Baez. The Octonions. — Bull. Amer. Math. Soc.. — 2002. — Т. 39. — doi : . ( от 9 октября 2008 на Wayback Machine )
J. H. van Lint, R. M. Wilson. . — Cambridge University Press, 1992. — С. .
L. Manivel. Configurations of lines and models of Lie algebras // Journal of Algebra. — 2006. — Т. 304 , вып. 1 . — ISSN . — doi : .
Burkard Polster (1998) A Geometrical Picture Book , Chapter 1: «Introduction via the Fano Plane», also pp 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer ISBN 0-387-98437-2 .