Ассоциированное семейство (или семейство Бонне ) минимальной поверхности - является однопараметрическим семейством минимальных поверхностей , которые разделяют те же данные Вейерштрасса . То есть, если поверхность имеет представление

${\displaystyle x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3}$

семейство описывается формулой

${\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}$

При ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ поверхность называется сопряжённой поверхности ${\displaystyle \theta =0}$ .

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны . Нормали поверхности точки с фиксированным ${\displaystyle \zeta }$ остаются неизменными при изменении ${\displaystyle \theta }$ . Сама точка движется по эллипсу .

Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов , семейства Шварца P , Шварца D и гироидов , а также семейства первой и второй поверхностей Шерка . Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении ${\displaystyle \theta }$ .

Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником .

Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий .

Примечания

Литература