Нерешённые проблемы математики : Существует ли множество Данцера с ограниченной плотностью или ограниченной степенью разделения?

Множество Данцера — множество точек, которое касается любого выпуклого тела единичного объёма. Людвиг Данцер задал вопрос, возможно ли такое множество ограниченной плотности . Некоторые варианты задачи остаются нерешёнными.

Плотность

Один из путей более формальной формулировки задачи — рассматривать скорость роста множества ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle d}$ -мерном евклидовом пространстве, определяемым как функция, отображающая вещественные числа ${\displaystyle r}$ в точки ${\displaystyle S}$ , находящиеся на расстоянии ${\displaystyle r}$ от начала координат . Вопрос Данцера — может ли множество Данцера иметь скорость роста ${\displaystyle O(r^{d})}$ , скорость роста вполне разнесённых множеств точек, подобных целочисленной решётки (которая не является множеством Данцера) .

Можно построить множество Данцера со скоростью роста в пределах полулогарифмического коэффициента ${\displaystyle O(r^{d})}$ . Например, при наложении прямоугольных сеток, ячейки которых имеют постоянный объём, но различные , можно достичь скорости роста ${\displaystyle O(n^{d}\log ^{d-1}n)}$ . Построения множеств Данцера известны с чуть меньшей скоростью роста ${\displaystyle O(r^{d}\log r)}$ , но ответ на вопрос Данцера остаётся неизвестным .

Ограниченное покрытие

Другой вариант задачи, предложенный Тимоти Гауэрсом , спрашивает, существует ли множество Данцера ${\displaystyle S}$ , для которого существует конечная граница ${\displaystyle C}$ на число точек пересечения ${\displaystyle S}$ и любого выпуклого тела единичного объёма . Этот вариант был решён — такое множество Данцера невозможно .

Разделение

Третьим вариантом задачи, остающимся нерешённым, является задача Конвея о мёртвых мухах . Конвей, Джон Хортон вспоминал, что будучи ребёнком, он спал в комнате с обоями, на которых цветы напоминали кучу мёртвых мух, и он пытался найти выпуклую область, не содержащую мух . В формулировке Конвея вопрос состоит в том, существует ли множество Данцера, в котором точки множества (мёртвые мухи) отделены друг от друга на ограниченное расстояние . Такое множество также обязательно будет иметь верхнюю границу расстояний от каждой точки плоскости до мёртвой мухи (чтобы коснуться всех точек окружности единичной площади), так что оно должно образовать множество Делоне , множество, имеющее как ненулевую нижнюю границу, так и конечную границу расстояний между точками. Это множество обязательно будет иметь скорость роста ${\displaystyle O(r^{d})}$ , так что если оно существует, то оно должно решать и оригинальную версию задачи Данцера. Конвей предложил приз в $1000 за решение задачи , как часть набора задач, в который входят также задача Конвея о 99-вершинном графе , анализ и гипотеза о трекле .

Дополнительные свойства

Можно также ограничить классы множеств точек, которые могут служить множествами Данцера другими способами. В частности, они не могут быть объединением конечного множества решёток , не могут быть образованными выбором точки из каждой плитки подстановки (в той же позиции для каждой плитки того же типа) и не могут быть сгенерированы методом вырежь-и-спроецируй построения апериодичных мозаик . Поэтому вершины мозаики «Вертушка» и мозаики Пенроуза не являются множествами Данцера .

См. также

• на множестве точек, которые не имеют малой площади.
• Теорема Минковского , что любое замкнутое выпуклое тело единичного объёма с центом симметрии в начале координат содержит ненулевое число точек полуцелочисленной решётки.

Примечания

Литература