Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая без самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз. Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку мостами в нескольких местах.

Меандр

Если задана ориентированная прямая L на плоскости R ² , меандр порядка n — это замкнутая кривая без самопересечений на R ² , которая поперечно пересекает прямую в 2 n точках для некоторого положительного n . Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему . Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L в себя, а один меандр в другой.

Пример

Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:

Меандровые числа

Число различных меандров порядка n называется меандровым числом M _n . Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность в OEIS ).

M ₁ = 1

M ₂ = 2

M ₃ = 8

M ₄ = 42

M ₅ = 262

M ₆ = 1828

M ₇ = 13820

M ₈ = 110954

M ₉ = 933458

M ₁₀ = 8152860

M ₁₁ = 73424650

M ₁₂ = 678390116

M ₁₃ = 6405031050

M ₁₄ = 61606881612

M ₁₅ = 602188541928

Меандровые перестановки

Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве {1, 2, …, 2 n } и определяется меандровой системой следующим образом:

• Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечаются целыми числами, начиная с 1.
• Кривая с точки пересечения, помеченной 1, ориентируется вверх.
• Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом ориентированной кривой через помеченные точки.

На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка , записанная в циклической нотации , её не следует путать с линейной нотацией.

Если π является меандровой перестановкой, то π ² состоит из двух циклов , одна содержит все чётные элементы, другая — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называется чередующимися перестановками (не путать с чередующимися в смысле возрастания-убывания ). Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой не является.

Открытый меандр

Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскости R ² , открытый меандр порядка n — это ориентированная кривая без самопересечений на R ² , которая пересекает прямую в n точках для некоторого положительного целого числа n . Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:

Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:

Открытые меандровы числа

Число различных открытых меандров порядка n называется открытым меандровым числом m _n . Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность в OEIS ).

m ₁ = 1

m ₂ = 1

m ₃ = 2

m ₄ = 3

m ₅ = 8

m ₆ = 14

m ₇ = 42

m ₈ = 81

m ₉ = 262

m ₁₀ = 538

m ₁₁ = 1828

m ₁₂ = 3926

m ₁₃ = 13820

m ₁₄ = 30694

m ₁₅ = 110954

Полумеандр

Если дан ориентированный луч R на плоскости R ² , полумеандр порядка n — — это непересекающаяся кривая в R ² , которая пересекает луч в n точках для некоторого положительного n . Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры

Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:

Полумеандровые числа

Количество различных полумеандровых чисел порядка n называется полумеандровым числом M _n (обычно обозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность в OEIS ).

M ₁ = 1

M ₂ = 1

M ₃ = 2

M ₄ = 4

M ₅ = 10

M ₆ = 24

M ₇ = 66

M ₈ =

M ₉ = 504

M ₁₀ = 1406

M ₁₁ = 4210

M ₁₂ = 12198

M ₁₃ = 37378

M ₁₄ = 111278

M ₁₅ = 346846

Свойства меандровых чисел

Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:

M _n = m _{2 n −1}

Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:

M _n ≤ M _n ≤ M _{2 n}

Для n > 1 меандрические числа чётны:

M _n ≡ 0 (mod 2)

Примечания

Литература

• в журнале Квант авторства В. И. Арнольда

Ссылки