Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств , обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств .

Определение

Компактное пространство — топологическое пространство , в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие .

Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном ), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности , первоначальное определение компактности равносильно современному .

Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства .

Примеры компактных множеств

• Замкнутые ограниченные множества в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Конечные подмножества топологических пространств.
• Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве ${\displaystyle C(X)}$ вещественных функций на метрическом компактном пространстве ${\displaystyle X}$ с нормой ${\displaystyle \|f\|=\sup _{x}|f(x)|}$ : замыкание множества функций ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle C(X)}$ компактно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F}$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно .
• Пространство Стоуна булевых алгебр .
• Компактификация топологического пространства.

Связанные определения

• Подмножество топологического пространства T , являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством .
• Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T ), если его замыкание в T компактно .
• Пространство называется секвенциально компактным , если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность , замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство , в котором все замкнутые шары компактны.
• Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
• Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
• Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
• H-замкнутое пространство — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве .

Термин « компакт » иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также « компакт » иногда используется для хаусдорфова компактного пространства . Далее, мы будем использовать термин « компакт » как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства

• Свойства, равносильные компактности:
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение .
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
  • Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в ${\displaystyle X}$ .
• Другие общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Теорема Вейерштрасса . Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто .
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально .
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто .
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто .
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения ) компактно.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом .
  • Компактные множества «ведут себя как точки» . Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы .
  • Каждое конечное топологическое пространство компактно.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто . Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля .
  • Лемма Лебега : для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия ${\displaystyle \{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A}$ существует положительное число ${\displaystyle r}$ такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше ${\displaystyle r}$ , содержится в одном из множеств ${\displaystyle V_{\alpha }}$ . Такое число ${\displaystyle r}$ называется числом Лебега.

См. также

• Компактификация

Примечания

Литература

• Колмогоров, А. Н. , Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.) . — 4-е изд.. — М. : Наука , 1976.
• Виро, О. Я. , Иванов, О. А. , Нецветаев, Н. Ю. , Харламов, В. М. Элементарная топология (рус.) . — 2-е изд., исправл.. — М. : МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 .
• Протасов, В. Ю. (рус.) . — М. : МЦНМО, 2005. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Шварц, Л. Анализ (рус.) . — М. : Мир , 1972. — Т. I.
• Келли, Дж. Л. Общая топология (рус.) . — М. : Наука , 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология (рус.) . — М. : Мир , 1986. — 752 с.
• Архангельский, А.В. Бикомпактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия . — М. : Советская энциклопедия, 1977-1985.
• Войцеховский, М. И. Компактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия . — М. : Советская энциклопедия, 1977-1985.