Interested Article - Призма (геометрия)

При́зма ( -угольная) ( лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник , две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками ( -угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные граней — параллелограммы , имеющие общие стороны с этими многоугольниками.

Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями .

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма , четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная ( пентапризма ) и т. д.

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Элементы призмы

Название Определение Обозначения на чертеже Чертеж
Основания Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. ,
Призма
Призма
Боковые грани Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. , , , ,
Боковая поверхность Объединение боковых граней.
Полная поверхность Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые рёбра Общие стороны боковых граней. , , , ,
Высота Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.
Диагональ Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Диагональная плоскость Плоскость , проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмы

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
  • Объём призмы с правильным n -угольным основанием равен
(здесь s — длина стороны многоугольника).
  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы , где — периметр основания призмы, — высота призмы.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным -угольным основанием равна
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида .

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм , называется параллелепипедом .

Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками .

Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом . Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник . Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники .

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником . Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
Усечённая треугольная призма
Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы ).

Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.

Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью . Усечённая призма сама призмой не является.

Диаграммы Шлегеля


Треугольная
призма

4-угольная
призма

5-угольная
призма

6-угольная
призма

7-угольная
призма

8-угольная
призма

Симметрия

Группой симметрии прямой -угольной призмы с правильным основанием является группа D n h порядка 4 n , за исключением куба, который имеет группу симметрии порядка 48, содержащую три версии D 4h в качестве подгрупп . является D n порядка 2 n , за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа порядка 24, имеющая три версии D 4 в качестве подгрупп.

Группа симметрии D n h включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Обобщения

Призматические многогранники

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. -мерный призматический многогранник конструируется из двух ( n − 1 )-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n -мерного многогранника удваиваются из элементов ( n − 1 )-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём -мерный многогранник с элементами ( i -мерная грань , i = 0, …, n ). Призматический ( )-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).

По размерностям:

  • Берём многоугольник с вершинами и сторонами. Получим призму с 2 вершинами, 3 рёбрами и гранями.
  • Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2 v вершинами, рёбрами, гранями и ячейками.
  • Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2 v вершинами, рёбрами, (2-мерными) гранями, ячейками и гиперячейками.

Однородные призматические многогранники

Правильный -многогранник, представленный символом Шлефли { p , q , ..., t }, может образовать однородный призматический многогранник размерности ( n + 1 ), представленный прямым произведением двух символов Шлефли : { p , q , ..., t }×{}.

По размерностям:

  • Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок , представленный пустым символом Шлефли {}.
  • Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник , полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом , запись можно сократить: {}×{} = {4}.
    • Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами .
  • многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника { p } можно получить однородную n -угольную призму, представленную произведением { p }×{}. Если p = 4 , призма становится кубом : {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника { p , q } можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением { p , q }×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
    • Пример: , {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра , соединённых 12 пятиугольными призмами ( сторонами ).

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами , которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом { p }×{ q }.

Семейство правильных
Многоугольник
Мозаика
3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 8.4.4 10.4.4

Скрученная призма и антипризма

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q -угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми .

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта .

Скрученная призма топологически идентична антипризме , но имеет половину симметрий : D n , [ n ,2] + , порядка 2 n . Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Треугольная Четырёхугольные 12-угольная

Многогранник Шёнхардта

Скрученная квадратная антипризма

Квадратная антипризма

Скрученная двенадцатиугольная антипризма

Связанные многогранники и мозаики

Семейство правильных
Многоугольник
Мозаика
3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 8.4.4 10.4.4
Семейство выпуклых куполов
n 2 3 4 5 6
Название {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол
Диагональный купол

Трёхскатный купол

Четырёхскатный купол

Пятискатный купол

Шестискатный купол
(плоский)
Связанные
однородные
многогранники
Треугольная призма
node_1 2 node 3 node_1
Кубооктаэдр
node_1 3 node 3 node_1
Ромбокубо-
октаэдр

node_1 4 node 3 node_1
Ромбоикосо-
додекаэдр

node_1 5 node 3 node_1

node_1 6 node 3 node_1

Симметрии

Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости . Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную .

Соединение многогранников

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

, , , .

Соты

Существует 9 однородных сот , включающих ячейки в виде треугольных призм:

Связанные многогранники

Треугольная призма является первым многогранником в ряду . Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников , все симплексы и ортоплексы ( правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −1 21 .

Четырёхмерное пространство

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных , включая:


node_1 3 node 3 node 2 node_1

node_1 3 node 4 node 2 node_1

node 3 node_1 4 node 2 node_1

node_1 3 node 5 node 2 node_1

node 3 node_1 5 node 2 node_1

node 3 node_1 5 node_1 2 node_1

node_1 3 node 5 node_1 2 node_1

node_1 3 node 4 node_1 2 node_1

node 3 node_1 4 node_1 2 node_1

node_h 5 node_h 3 node_h 2 node_1

node_h n node_h 2x node_h 2 node_1

node_1 3 node 3 node_1 3 node

node_1 3 node_1 3 node_1 3 node

node_1 3 node 3 node 3 node_1

node_1 3 node_1 3 node 3 node_1

node_1 4 node 3 node_1 3 node

node_1 4 node_1 3 node_1 3 node

node_1 4 node 3 node 3 node_1

node_1 4 node_1 3 node 3 node_1

node_1 3 node 4 node_1 3 node

node_1 3 node_1 4 node_1 3 node

node_1 3 node 4 node 3 node_1

node_1 3 node_1 4 node 3 node_1

node_1 5 node 3 node_1 3 node

node_1 5 node_1 3 node_1 3 node

node_1 5 node 3 node 3 node_1

node_1 5 node_1 3 node 3 node_1

См. также

Примечания

  1. , с. 28.
  2. Усечённая призма // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  3. , с. 172.
  4. . Дата обращения: 28 января 2019. 29 января 2019 года.

Литература

  • William F. Kern, James R. Bland. . — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4 .
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7 .

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  • . « ». Glossary for Hyperspace.
  • (недоступная ссылка с 12-03-2018 [2152 дня])
  • MATHguide
  • MATHguide
  • Развёртки призм и антипризм
  • Развёртки, созданные системой .
  • : Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.
Источник —

Same as Призма (геометрия)