Ка́нторово мно́жество ( канторов дисконтинуум , канторова пыль ) — один из простейших фракталов , подмножество единичного отрезка вещественной прямой , которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе .

Описано в 1883 году Георгом Кантором . Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года:

Пусть ${\displaystyle P'}$ обозначает множество предельных точек множества ${\displaystyle P}$ . Существует ли нигде неплотное множество ${\displaystyle P}$ , такое что пересечение

${\displaystyle P\cap P'\cap P''\cap \dots }$

не пусто?

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка ${\displaystyle C_{0}=[0,1]}$ удалим среднюю треть, то есть интервал ${\displaystyle (1/3,2/3)}$ . Оставшееся точечное множество обозначим через ${\displaystyle C_{1}}$ . Множество ${\displaystyle C_{1}=[0,1/3]\cup [2/3,1]}$ состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через ${\displaystyle C_{2}}$ . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем ${\displaystyle C_{3}}$ . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств ${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}\supset \dots }$ . Пересечение

${\displaystyle C=\bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}}$

называется канторовым множеством .

Множества ${\displaystyle C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ C_{3},\ C_{4},\ C_{5},\ C_{6}}$

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в n-м разряде вырезаются на n-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например ${\displaystyle 0{,}1_{3}\in C}$ , так как ${\displaystyle 0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3}}$ .

В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Как аттрактор

Канторово множество может быть определено как аттрактор . Рассмотрим все последовательности точек ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ такие, что для любого ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}/3}$ или ${\displaystyle x_{n+1}-1=(x_{n}-1)/3}$ .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — ${\displaystyle \{0;1\}^{\aleph _{0}}}$ ; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией) .

Свойства

• Канторово множество замкнуто .
• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством .
• Канторово множество континуально .
• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую ) хаусдорфову размерность равную ${\displaystyle \ln 2/\ln 3\approx 0{,}63}$ . В частности, оно имеет нулевую меру Лебега .
• Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
• Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором непрерывном отображении .
• Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой .

Вариации и обобщения

Канторов куб ( обобщённый канторов дисконтинуум ) веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ -я степень двухточечного дискретного пространства ${\displaystyle \{0;1\}^{\mathfrak {m}}}$ . Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ . Каждый хаусдорфов компакт веса не больше ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ есть непрерывный образ подпространства канторова куба ${\displaystyle \{0;1\}^{\mathfrak {m}}}$ .

— компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. — топологическое пространство, для которого существует компактификация , являющаяся диадическим компактом.

См. также

• Канторова лестница
• Функция Минковского
• Дисконтинуум

Примечания

Литература

• Энгелькинг Р. . Общая топология. — М. : Мир , 1986. — 752 с.