Важное свойство проективной плоскости — « симметрия » ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык « », позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, , основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и .

Концепция двойственности плоскости легко расширяется до двойственности в любой конечномерной проективной геометрии.

Принцип двойственности

Принцип двойственности для проективной плоскости утверждает, что если взять любое верное утверждение, сформулированное в терминах проективной геометрии, (любую проективную теорему), и заменить все вхождения каждого термина на двойственный к нему, получится снова верное утверждение. В частности, для утверждений о точках и прямых достаточно заменить каждое вхождение слова «точка» на «прямая», а «прямая» на «точка» (заменив также окружающие их слова соответствующим образом, например «лежит на» на «принадлежит»). О полученном таким образом утверждении говорят, что оно двойственно исходному. Например, для проективной аксиомы «Через каждые две точки проходит единственная прямая» двойственным утверждением является другая проективная аксиома «Каждые две прямые пересекаются в одной точке».

Этот принцип даёт хороший повод для употребления «симметричного» термина для отношения инцидентности . Так, вместо предложения «точка лежит на прямой» можно сказать «точка и прямая инцидентны», и для превращения утверждения в двойственное достаточно слова точка и прямая переставить местами («прямая и точка инцидентны»).

Эта концепция может быть обобщена до двойственности трёхмерного проективного пространства, где понятия «точки» и «плоскости» меняются ролями (а прямые остаются прямыми). Это приводит к Принципу двойственности для пространства . Возможны и дальнейшие обобщения (см. далее).

Двойственность более сложных фигур

Конфигурацией точек и прямых с символом ${\displaystyle (m_{c},n_{d})}$ называют набор из ${\displaystyle m}$ точек и ${\displaystyle n}$ прямых таких, что через каждую точку проходит ровно ${\displaystyle c}$ прямых конфигурации, а на каждой прямой ровно ${\displaystyle d}$ точек конфигурации. Двойственным объектом к конфигурации с символом ${\displaystyle (m_{c},n_{d})}$ оказывается конфигурация с символом ${\displaystyle (n_{d},m_{c})}$ . Например, к полному четырёхвершиннику двойственным объектом является полный четырёхсторонник .

Принцип двойственности допускает обобщение на произвольные кривые на проективной плоскости. Для построения двойственной кривой строят двойственную (см. ) к каждой точке данной кривой прямую, а потом рассматривают их огибающую — такую кривую, что все полученные прямые являются к ней касательными. В частности, для кривых второго порядка на проективной плоскости оказывается, что двойственная кривая тоже является кривой второго порядка.

Более общо, для квадрик в проективном пространстве имеет место следующее утверждение: множество касательных гиперплоскостей к невырожденной квадрике в проективном пространстве ${\displaystyle P(L)}$ образует невырожденную квадрику в пространстве ${\displaystyle P(L^{*})}$ (звёздочка, как обычно, означает сопряжённое пространство ) . Можно расширить двойственность и на произвольные проективные алгебраические многообразия.

Двойственные теоремы

Для вещественной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ существует ряд хорошо известных утверждений, двойственных друг другу. Среди них:

• Теорема Дезарга ⇔ Обратная теорема Дезарга
• Теорема Паскаля ⇔ Теорема Брианшона
• Теорема Менелая ⇔ Теорема Чевы

Двойственные многогранники

В стереометрии имеет место двойственность многогранников , когда точки двойственны граням, а рёбра двойственны рёбрам, так что, например, икосаэдр двойственен додекаэдру , а куб двойственен октаэдру . Одним из способов построения этой двойственности является применение проективной двойственности.

Формализация

Если определять проективную плоскость аксиоматически как структуру инцидентности в терминах множества точек ${\displaystyle P}$ , множества прямых ${\displaystyle L}$ и бинарного отношения инцидентности ${\displaystyle I}$ , которое определяет, какие точки лежат на каких прямых, то можно определить двойственную структуру плоскости .

Если обменять ролями «точки» и «прямые» в структуре инцидентности

${\displaystyle C=(P,L,I),}$

получим двойственную структуру

${\displaystyle C^{\ast }=(L,P,I^{\ast }),}$

где ${\displaystyle I^{\ast }}$ — обратное отношение к ${\displaystyle I}$ . ${\displaystyle C^{\ast }}$ является также проективной плоскостью, которая называется дуальной (двойственной) плоскостью для ${\displaystyle C}$ .

Если ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C^{\ast }}$ изоморфны, то ${\displaystyle C}$ называется самодвойственной . Проективные плоскости ${\displaystyle \operatorname {PG} (2,K)}$ для любого поля (или, в более общем случае, для любого тела , изоморфного двойственному себе) ${\displaystyle K}$ являются самодвойственными. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако среди недезарговых плоскостей существуют как самодвойственные (например, ), так и не самодвойственные (например, плоскости Холла).

Двойственность как отображение

Двойственность (плоскости) — это отображение из проективной плоскости ${\displaystyle C=(P,L,I)}$ в её дуальную ${\displaystyle C^{\ast }=(L,P,I^{\ast })}$ , сохраняющее свойство инцидентности. Таким образом, двойственность ${\displaystyle \sigma }$ отображает точки в прямые и прямые в точки ( ${\displaystyle P^{\sigma }=L}$ и ${\displaystyle L^{\sigma }=P}$ ) таким образом, что если точка ${\displaystyle Q}$ лежит на прямой ${\displaystyle m}$ (обозначается ${\displaystyle QIm}$ ), то ${\displaystyle m^{\sigma }I^{\ast }Q^{\sigma }\Leftrightarrow QIm}$ .

Двойственность, определённая таким образом, не обязательно является биекцией. Двойственность проективных плоскостей, являющуюся изоморфизмом, называют корреляцией . Иногда ограничиваются только случаем автоморфизма, то есть отображения из проективной плоскости в себя, тогда существование корреляции означает самодвойственность проективной плоскости.

Связь с коллинеацией

Можно смотреть на понятие корреляции как на аналог понятия коллинеации. Коллинеация — отображение между проективными плоскостями, отображающее точки в точки, а прямые в прямые, то есть сохраняющее инцидентность.

Важным свойством коллинеаций является то, что они сохраняют двойное отношение . Корреляции тоже удовлетворяют этому требованию, переводя двойное отношение точек в двойное отношение прямых. Таким образом, при переводе множества точек на прямой в пучок прямых через точку каждая гармоническая четвёрка точек переводится в гармоническую четвёрку прямых.

Рассмотрев композицию произвольной корреляции ${\displaystyle \varphi }$ самой с собой, мы автоматически получаем некоторую коллинеацию ${\displaystyle \varphi ^{2}}$ . Если это оказывается тождественное отображение, то есть если сама корреляция является инволюцией , то она называется поляритетом или полярным соответствием . Иногда это название применяют только к соответствию конкретного вида, см. .

Отображения с теми же свойствами могут быть введены и в пространствах более высоких размерностей, все рассуждения повторяются дословно.

Классификация корреляций

Так как композиция двух корреляций — коллинеация, это позволяет классифицировать коллинеации, после чего множество всех корреляций описывается как композиция фиксированной корреляции со всеми коллинеациями.

Понятие коллинеации тесно связано с понятием проективного преобразования . Формально, проективным преобразованием ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ называют такую коллинеацию, которая происходит из линейного оператора на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ . Оказывается, в вещественном случае или при ${\displaystyle n>2}$ эти понятия просто совпадают. Для проективной плоскости вида ${\displaystyle \operatorname {PG} (2,K)}$ , где ${\displaystyle K}$ — тело, по любая коллинеация является композицией автоморфизма ${\displaystyle K}$ и проективного преобразования .

При помощи этого можно показать, что корреляция на ${\displaystyle \operatorname {PG} (2,K)}$ задаётся произвольной полуторалинейной формой на ${\displaystyle K^{3}}$ ассоциированной с произвольным антиавтоморфизмом поля ${\displaystyle K}$ . При этом каждое подпространство отображается в ортогональное ему относительно данной формы.

Двойственность в однородных координатах

Двойственность проективной плоскости является частным случаем двойственности для проективных пространств , преобразований ${\displaystyle \operatorname {PG} (n,K)}$ (которые обозначаются также ${\displaystyle K\mathbb {P} ^{n}}$ ), где ${\displaystyle K}$ — поле, обменивающих объекты размерности ${\displaystyle r}$ с объектами размерности ${\displaystyle n-1-r}$ (= коразмерность ${\displaystyle r+1}$ ). Таким образом, в проективном пространстве размерности ${\displaystyle n}$ точки (размерность 0) будут соответствовать гиперплоскостям (коразмерность 1), прямые, проходящие через две точки (размерность 1), будут соответствовать пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2), и так далее.

Точки ${\displaystyle \operatorname {PG} (n,K)}$ можно рассматривать как ненулевые вектора в ( ${\displaystyle n+1}$ )-мерном векторном пространстве над ${\displaystyle K}$ , в котором мы отождествляем вектора, отличающиеся умножением на скаляр. Ненулевой вектор ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n})}$ в ${\displaystyle K^{n+1}}$ также определяет ортогональное ему ${\displaystyle (n-1)}$ -мерное подпространство (гиперплоскость) ${\displaystyle H_{u}}$ :

${\displaystyle H_{u}=\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}):u_{0}x_{0}+\ldots +u_{n}x_{n}=0\}.}$

Вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$ , используемый для определения гиперплоскости, обозначим ${\displaystyle \mathbf {u} _{H}}$ , а для обозначения точки, соответствующей концу вектора, будем использовать обозначение ${\displaystyle \mathbf {u} _{P}}$ . В терминах обычного скалярного произведения , ${\displaystyle H_{u}=\{\mathbf {x} _{P}:\mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=0\}}$ . Поскольку ${\displaystyle K}$ является полем, скалярное произведение симметрично, что означает ${\displaystyle \mathbf {u} _{H}\cdot \mathbf {x} _{P}=u_{0}x_{0}+u_{1}x_{1}+\ldots +u_{n}x_{n}=x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+\ldots +x_{n}u_{n}=\mathbf {x} _{H}\cdot \mathbf {u} _{P}}$ . Можно задать корреляцию ${\displaystyle {\textbf {u}}_{P}\leftrightarrow H_{u}}$ между точками и гиперплоскостями. Это соответствие можно распространить на прямые, образованные двумя точками и пересечение двух гиперплоскостей, и так далее.

На проективной плоскости ${\displaystyle \operatorname {PG} (2,K)}$ с полем ${\displaystyle K}$ мы имеем соответствие: однородные координаты ${\displaystyle (a,b,c)\leftrightarrow }$ прямые, задаваемые уравнениями ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ . В проективном пространстве ${\displaystyle \operatorname {PG} (3,K)}$ соответствие выглядит как точки в однородных координатах ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ↔ плоскости, задаваемые уравнениями ${\displaystyle ax+by+cz+dw=0}$ . Это соответствие также отображает прямую, задаваемую двумя точками ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}$ и ${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}$ , в прямую, которая является пересечением двух плоскостей, задаваемых уравнениями ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}w=0}$ и ${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}w=0}$ .

Скалярное произведение в ${\displaystyle K^{n+1}}$ можно заменить на произвольную невырожденную билинейную форму, тем самым построив другие корреляции.

Геометрическое построение взаимного преобразования

Соответствие в ${\displaystyle \operatorname {PG} (2,R)}$ в однородных координатах может быть описано геометрически. Для этого используется модель вещественной проективной плоскости «единичная сфера с отождествлением антиподов », или, что эквивалентно, модель прямых и плоскостей, проходящих через начало координат пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Сопоставим прямой, проходящей через начало координат, единственную ортогональную ей плоскость, содержащую начало координат. Если в этой модели прямые считать точками, а плоскости — прямыми проективной плоскости ${\displaystyle \operatorname {PG} (2,R)}$ , это сопоставление становится соответствием (а фактически — полярным отображением) проективной плоскости. Сферическую модель можно получить как пересечение прямых и плоскостей, проходящих через начало координат, с единичной сферой, имеющей центр в начале координат. Прямые пересекают сферу в двух противоположных точках, которые отождествляются для получения точки проективной плоскости, плоскости же пересекают сферу по большим кругам , которые являются прямыми проективной плоскости.

То, что такое сопоставление «сохраняет» инцидентность, легко показать на модели прямых и плоскостей. Точка, инцидентная прямой в проективной плоскости, соответствует прямой, лежащей на плоскости в модели. При двойственности плоскость становится прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскости. Этот образ (прямая) перпендикулярен любой прямой, лежащей на исходной плоскости, а в частности и исходной прямой (точке проективной плоскости). Все прямые, перпендикулярные исходной прямой, образуют плоскость, которая является образом исходной прямой. Таким образом, образ прямой лежит в образе плоскости, так что инцидентность сохранена.

Полюса и поляры

На евклидовой плоскости зафиксируем окружность ${\displaystyle C}$ с центром ${\displaystyle O}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ . Для каждой точки ${\displaystyle P}$ , отличной от ${\displaystyle O}$ , определим образ ${\displaystyle P'=Q}$ на луче ${\displaystyle OP}$ по правилу ${\displaystyle OP\cdot OQ=r^{2}}$ . Так определенное отображение ${\displaystyle P\mapsto Q}$ называется инверсией относительно окружности ${\displaystyle C}$ . Прямая ${\displaystyle q}$ , проходящая через ${\displaystyle P}$ , перпендикулярная ${\displaystyle OP}$ , называется полярой точки ${\displaystyle Q}$ по отношению к окружности ${\displaystyle C}$ .

Пусть ${\displaystyle q}$ — прямая, не проходящая через ${\displaystyle O}$ . Опустим перпендикуляр из ${\displaystyle OP}$ из точки ${\displaystyle O}$ на прямую ${\displaystyle q}$ . Пусть ${\displaystyle Q}$ — образ точки ${\displaystyle P}$ при инверсии относительно ${\displaystyle C}$ . Тогда говорят, что ${\displaystyle Q}$ — полюс прямой ${\displaystyle q}$ . Если точка ${\displaystyle M}$ лежит на прямой ${\displaystyle q}$ (не проходящей через ${\displaystyle O}$ ), то полюс ${\displaystyle Q}$ прямой ${\displaystyle q}$ лежит на поляре ${\displaystyle m}$ точки ${\displaystyle M}$ и наоборот. Таким образом, отображение, при котором точки и прямые переходят в их поляры и полюсы по отношению к ${\displaystyle C}$ , сохраняет инцидентность и является проективным преобразованием .

Чтобы сделать этот процесс взаимно-однозначным преобразованием и превратить в корреляцию , евклидову плоскость необходимо расширить до проективной плоскости путём добавления и , которые лежат на этой бесконечно удалённой прямой. На этой расширенной плоскости мы определяем поляру точки ${\displaystyle O}$ как прямую на бесконечности (а точка ${\displaystyle O}$ является полюсом бесконечно удалённой прямой), и полюсы прямых, проходящих через ${\displaystyle O}$ как точки на бесконечности, где, если прямая имеет угловой коэффициент ${\displaystyle s(\neq 0)}$ , её полюс является бесконечно удалённой точкой, соответствующей классу параллельных прямых с наклоном ${\displaystyle -1/s}$ . Полюс для оси ${\displaystyle x}$ — это точка на бесконечности вертикальных прямых, а полюс оси ${\displaystyle y}$ — точка на бесконечности горизонтальных прямых.

Построение полярного преобразования для инверсии относительно окружности, данное выше, можно обобщить с использованием инверсии относительно конических сечений (на расширенной вещественной плоскости). Взаимное преобразование, построенное таким образом, является проективной корреляцией порядка 2, то есть полярным преобразованием.

Отображение сферы в плоскость

Модель проективной плоскости с единичной сферой изоморфна (принимая во внимание свойство инцидентности) планарной модели, где плоскость расширена проективной прямой на бесконечности. В этой модели противоположные точки сферы (относительно центра) считаются одной точкой.

Чтобы сопоставить точкам сферы точки на плоскости, положим, что сфера касается плоскости в некоторой точке и эту точку мы выберем в качестве начала координат плоскости. Теперь проведём прямую через точку на сфере и центр сферы. Эта прямая пересечёт сферу в некоторой точке. Полученную точку можно использовать для построения взаимно однозначного отображения

${\displaystyle f:[0,\pi /2]\times [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} P^{2}.}$ .

Если точки в ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ заданы в однородных координатах , то

${\displaystyle f:(\theta ,\phi )\mapsto [\cos \phi :\sin \phi :\cot \theta ],}$

${\displaystyle f^{-1}:[x:y:z]\mapsto \left(\arctan {\sqrt {\left({x \over z}\right)^{2}+\left({y \over z}\right)^{2}}},\arctan _{2}(y,x)\right).}$

Прямые на планарной модели являются проекциями больших окружностей сферы, поскольку через прямую на плоскости и начало 3-мерных координат можно провести плоскость, и эта плоскость будет пересекать сферу по большой окружности.

Как можно видеть, любой большой окружности на сфере можно сопоставить проективную точку, соответствующую единственной прямой, перпендикулярной плоскости, на которой окружность лежит и которую можно определить как двойственную. Эта прямая пересекает касательную плоскость, и это показывает, каким образом сопоставить единственную точку плоскости любой прямой этой плоскости, таким образом, что точка будет двойственной к прямой.

Примечания

Литература

• A. Adrian Albert, Reuben Sandler. An Introduction to Finite Projective Planes. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1968.
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berlin.
• Р. Бэр. Линейная алгебра и проективная геометрия. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1955.
• M.K. Bennett. . — New York: Wiley, 1995. — ISBN 0-471-11315-8 .
• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum. Projective Geometry: from foundations to applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-48277-1 .
• Rey Casse. Projective Geometry: An Introduction. — New York: Oxford University Press, 2006. — ISBN 0-19-929886-6 .
• Judith N. Cederberg. A Course in Modern Geometries. — New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 0-387-98972-2 .
• Г.С.М. Коксетер. Действительная проективная плоскость. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
• Coxeter, H. S. M. Projective Geometry. — 2nd ed. — Springer Verlag, 2003. — ISBN 978-0-387-40623-7 .
• Г.С.М. Коксетер. Введение в геометрию. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1968.
• Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — (Библиотека математического кружка).
• Dembowski Peter. Finite Geometries. — Berlin: Springer Verlag, 1968.
• Lynn E. Garner. An Outline of Projective Geometry. — New York: North Holland, 1981. — ISBN 0-444-00423-8 .
• Greenberg, M.J. Euclidean and non-Euclidean geometries. — 4th ed. — Freeman, 2007.
• Р. Хартсхорн. Основы проективной геометрии. — Москва: «Мир», 1970. — («Современная математика» Популярная серия).
• Hartshorne Robin. Geometry: Euclid and Beyond. — Springer, 2000.
• Д. Гилберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. — Москва, Ленинград: Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936.
• D. R. Hughes, F. C. Piper. Projective Planes. — Springer, 1973.
• F. Kárteszi. . — Amsterdam: North-Holland, 1976. — ISBN 0-7204-2832-7 .
• R.J. Mihalek. . — New York: Academic Press, 1972. — ISBN 0-12-495550-9 .
• S. Ramanan. Projective geometry // Resonance. — Springer India, August 1997. — Т. 2 , вып. 8 . — С. 87–94 . — ISSN . — doi : .
• Pierre Samuel. . — New York: Springer-Verlag, 1988. — ISBN 0-387-96752-4 .
• Frederick W. Stevenson. . — San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. — ISBN 0-7167-0443-9 .
• Oswald Veblen, J. W. A. Young. Projective geometry. — Boston: Ginn & Co., 1938. — ISBN 978-1-4181-8285-4 .
• О.А. Вольберг. Основные идеи проективной геометрии. — Москва, Ленинград: Учпедгиз, 1949.
• С.Л. Певзнер. Проективная геометрия. — Москва: «Просвещение», 1980. — С. 68—69 § 13 Коллинеации.
• А.Д. Александров , Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. — Москва: Наука, 1990.
• И.Р. Шафаревич , А.О. Ремизов. Линейная алгебра и геометрия. — Москва: Физматлит, 2009.

Ссылки

Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .