В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, ${\displaystyle |\mathbf {A} |=A}$ .

В классической механике ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона , вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения , то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются ; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить для любой задачи с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы , которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей .

Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона, движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода , ещё перед открытием уравнения Шрёдингера .

В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ всегда движется по кругу . Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии ${\displaystyle E}$ проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере ${\displaystyle S_{3}}$ . По этой математической аналогии сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве .

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа , вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца , хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз . Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике . Точно так же для него нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется ${\displaystyle \mathbf {A} }$ . Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ .

Контекст

Одиночная частица, движущаяся под воздействием любой консервативной центральной силы , имеет по крайней мере четыре интеграла движения (сохраняющиеся при движении величины): полная энергия ${\displaystyle E}$ и три компоненты углового момента (вектора ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ). Орбита частицы лежит в плоскости, которая определяется начальным импульсом частицы, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ (или, что эквивалентно, скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ) и координатами, то есть радиус-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} }$ между центром силы и частицей (см. рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору ${\displaystyle \mathbf {L} }$ , что может быть выражено математически с помощью скалярного произведения ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}$ .

Как определено , вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ всегда находится в плоскости движения, то есть ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$ для любой центральной силы. Также ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния . Если центральная сила приблизительно зависит от обратного квадрата расстояния, вектор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является приблизительно постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил, однако, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ не постоянный, а изменяет длину и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ для всех центральных сил, но этот вектор — сложная функция положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях .

История

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит , наподобие движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем импульс и угловой момент . Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия . Якоб Герман был первым, кто показал, что ${\displaystyle \mathbf {A} }$ сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния , и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году . В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение ${\displaystyle \mathbf {A} }$ вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники .

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый , использовав его, чтобы показать, что конец вектора импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ двигается по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3) . В начале XX столетия Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор с помощью векторного анализа . Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера , на который ссылался в своей статье о квантовомеханическом (старом) рассмотрении атома водорода .

В 1926 году этот вектор использовал Вольфганг Паули , чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику , а не уравнение Шрёдингера . После публикации Паули вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге — Ленца .

Математическое определение

Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы , зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$ , вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ определён математически по формуле

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} ,}$

где

${\displaystyle m}$ — масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы,

${\displaystyle \mathbf {p} }$ — вектор импульса ,

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ — вектор углового момента ,

${\displaystyle k}$ — параметр, описывающий величину центральной силы,

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ — единичный вектор, то есть ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ , где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор положения частицы, и ${\displaystyle r}$ — его длина.

Поскольку мы предположили, что сила консервативная , то полная энергия ${\displaystyle E}$ сохраняется

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}.}$

Из центральности силы следует, что вектор углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ также сохраняется и определяет плоскость, в которой частица совершает движение. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ перпендикулярен вектору углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ и, таким образом, находится в плоскости орбиты . Уравнение ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$ верно, потому что вектора ${\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r} }$ перпендикулярны ${\displaystyle \mathbf {L} }$ .

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ применимо для единственной точечной частицы с массой ${\displaystyle m}$ , движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, то же самое определение может быть расширено на проблему с двумя телами, наподобие проблемы Кеплера, если заменить ${\displaystyle m}$ на приведённую массу этих двух тел и ${\displaystyle \mathbf {r} }$ на вектор между этими телами.

Круговой годограф импульса

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ используется в доказательстве того, что вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ , приходим к уравнению для ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} .}$

Направляя вектор ${\displaystyle \mathbf {L} }$ вдоль оси ${\displaystyle z}$ , а главную полуось — по оси ${\displaystyle x}$ , приходим к уравнению

${\displaystyle p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.}$

Другими словами, вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ограничен окружностью радиуса ${\displaystyle mk/L}$ , центр которой расположен в точке с координатами ${\displaystyle (0,A/L)}$ . Эксцентриситет ${\displaystyle e}$ соответствует косинусу угла ${\displaystyle \eta }$ , показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную ${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$ . Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.

Интегралы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин: энергия ${\displaystyle E}$ и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и момента импульса ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$ , а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше ${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$ . Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения . Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (и эксцентриситет ${\displaystyle e}$ орбиты) можно определить из полного углового момента ${\displaystyle L}$ и энергии ${\displaystyle E}$ , то утверждается, что только направление ${\displaystyle \mathbf {A} }$ сохраняется независимо. Кроме того, вектор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ должен быть перпендикулярным ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с ${\displaystyle d}$ степенями свободы может обладать максимум ${\displaystyle 2d-1}$ интегралами движения, поскольку имеется ${\displaystyle 2d}$ начальных условий, а начальное время не может быть определено из интегралов движения. Система с более чем ${\displaystyle d}$ интегралами движения называется суперинтегрируемой , а система с ${\displaystyle 2d-1}$ интегралами называется максимально суперинтегрируемой . Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к ${\displaystyle d}$ интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат . Проблема Кеплера максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы ( ${\displaystyle d=3}$ ) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах , как описано . Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений , как показано .

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ , которые определяются следующим образом

${\displaystyle \xi =r+x,}$

${\displaystyle \eta =r-x,}$

где ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ — радиус в плоскости орбиты. Обратное преобразование этих координат запишется в виде

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta ),}$

${\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}.}$

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения

${\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta ,}$

${\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta ,}$

где ${\displaystyle \beta }$ — интеграл движения . Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса ${\displaystyle p_{x}}$ и ${\displaystyle p_{y}}$ можно показать, что ${\displaystyle \beta }$ эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

${\displaystyle \beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.}$

Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ в присутствии электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[(\mathbf {r} \times \mathbf {E} )\times \mathbf {r} \right],}$

где ${\displaystyle q}$ — заряд обращающейся частицы.

Альтернативная формулировка

В отличие от импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ , у вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся , но другое определение возникает после деления на постоянную ${\displaystyle mk}$ , чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}(\mathbf {v} \times \mathbf {r} \times \mathbf {v} )-\mathbf {\hat {r}} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора ${\displaystyle \mathbf {e} }$ совпадает с направлением ${\displaystyle \mathbf {A} }$ , и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на ${\displaystyle m}$ :

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }$

или на ${\displaystyle p_{0}}$ :

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \},}$

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ). В редких случаях знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , ${\displaystyle \mathbf {R} }$ , ${\displaystyle \mathbf {F} }$ , ${\displaystyle \mathbf {J} }$ и ${\displaystyle \mathbf {V} }$ . Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.

Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль — вектор ${\displaystyle \mathbf {B} }$ изучен Уильямом Гамильтоном

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)(\mathbf {L} \times \mathbf {r} ),}$

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }$ является векторным произведением ${\displaystyle \mathbf {B} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ (рис. 3). Вектор ${\displaystyle \mathbf {B} }$ обозначен как бинормаль , так как он перпендикулярен как ${\displaystyle \mathbf {A} }$ , так и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ . Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющиеся вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор

${\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \otimes \mathbf {B} ,}$

где ${\displaystyle \otimes }$ обозначает тензорное произведение , а ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — произвольные множители . Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так

${\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.}$

Векторы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора ${\displaystyle \mathbf {W} }$ , то есть как его собственные вектора . ${\displaystyle \mathbf {W} }$ перпендикулярен ${\displaystyle \mathbf {L} }$ :

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha (\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} )\mathbf {A} +\beta (\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} =0,}$

поскольку ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ перпендикулярны, то ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} =0}$ .

Вывод орбит Кеплера

Форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера , зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ , можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r} }$ (положения планеты):

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-mkr,}$

где ${\displaystyle \theta }$ является углом между ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=\mathbf {L} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$ , и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения :

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$

с эксцентриситетом ${\displaystyle e}$ , заданным по формуле:

${\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {|\mathbf {A} |}{mk}}.}$

Приходим к выражению квадрата модуля вектора ${\displaystyle \mathbf {A} }$ в виде

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},}$

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты

${\displaystyle e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.}$

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса . Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния ), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита — гипербола . Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола . Во всех случаях вектор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат ( перицентр ).

Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния

Сила ${\displaystyle \mathbf {F} }$ , действующая на частицу, предполагается центральной . Поэтому

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }$

для некоторой функции ${\displaystyle f(r)}$ радиуса ${\displaystyle r}$ . Поскольку угловой момент ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ сохраняется под действием центральных сил, то ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$ и

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],}$

где импульс записан в виде ${\displaystyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$ , и двойное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

${\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$

Тождество

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}$

приводит к уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}$

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния ${\displaystyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$ , последнее выражение равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}$

Тогда ${\displaystyle \mathbf {A} }$ сохраняется в этом случае

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-{\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} )=0.}$

Как показано , вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ , который может быть определён для любой центральной силы . Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана ), аналогичный вектор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла ${\displaystyle \theta }$ между ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ .

Изменение под действием возмущающих центральных сил

Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только приблизительно зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал ${\displaystyle h(r)}$ зависит только от расстояния, то полная энергия ${\displaystyle E}$ и вектор углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к ${\displaystyle \mathbf {L} }$ плоскости, и величина ${\displaystyle A}$ сохраняется, согласно уравнению ${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$ . Следовательно, направление ${\displaystyle \mathbf {A} }$ медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол , можно прямо показать , что ${\displaystyle \mathbf {A} }$ вращается со скоростью

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},}$

где ${\displaystyle T}$ — период орбитального движения и равенство ${\displaystyle L\,dt=mr^{2}\,d\theta }$ использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности , приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния :

${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}$

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right),}$

чтобы выразить ${\displaystyle r}$ в терминах ${\displaystyle \theta }$ , скорость прецессии перицентра , вызванная этим возмущением, запишется в виде

${\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.}$

которая близка по значению к величине прецессии для Меркурия необъяснённой ньютоновской теорией гравитации . Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров . Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности .

Теория групп

Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

${\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\;\mathbf {\dot {q}} ,\;t)}$

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на величину полной производной по времени

${\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,}$

что соответствует сохранению величины

${\displaystyle J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\,.}$

Эта компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle A_{s}}$ соответствует вариации координат

${\displaystyle \delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],}$

где ${\displaystyle i}$ равняется 1, 2 и 3, а ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}}$ — ${\displaystyle i}$ -е компоненты векторов положения ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и скорости ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} }$ , соответственно. Функция Лагранжа данной системы

${\displaystyle L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}.}$

Получающееся изменение в первом порядке малости для функции Лагранжа запишется как

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$

Это приводит к сохранению компоненты ${\displaystyle A_{s}}$

${\displaystyle A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$

Преобразование Ли

Существует другой метод вывода сохранения вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей . Масштабирование координат ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и времени ${\displaystyle t}$ с разной степенью параметра ${\displaystyle \lambda }$ (рис. 6)

${\displaystyle t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }$

изменяет полный угловой момент ${\displaystyle L}$ и энергию ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}$

— но сохраняет произведение ${\displaystyle EL^{2}}$ . Отсюда следует, что эксцентриситет ${\displaystyle e}$ и величина ${\displaystyle A}$ сохраняются в уже уравнении

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}$

Направление ${\displaystyle \mathbf {A} }$ также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при скалировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера , а именно то, что полуось ${\displaystyle a}$ и период ${\displaystyle T}$ формируют константу ${\displaystyle T^{2}/a^{3}}$ .

Скобки Пуассона

Для трёх компонент ${\displaystyle L_{i}}$ вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ можно определить скобки Пуассона

${\displaystyle [L_{i},\;L_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},}$

где индекс ${\displaystyle i}$ пробегает значения 1, 2, 3 и ${\displaystyle \varepsilon _{ijs}}$ — абсолютно антисимметричный тензор , то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования ${\displaystyle s}$ , чтобы не путать с силовым параметром ${\displaystyle k}$ , определённым ). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в .

Как показано , изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {D} }$ можно определить с той же размерностью, что и угловой момент , разделив ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на ${\displaystyle p_{0}}$ . Скобка Пуассона ${\displaystyle \mathbf {D} }$ с вектором углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ запишется в похожем виде

${\displaystyle [D_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}.}$

Скобка Пуассона ${\displaystyle \mathbf {D} }$ с ${\displaystyle \mathbf {D} }$ зависит от знака ${\displaystyle E}$ , то есть когда полная энергия ${\displaystyle E}$ отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений

${\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},}$

${\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}$

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\;D_{i}]=0.}$

${\displaystyle C_{2}}$ равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант ${\displaystyle C_{1}}$ нетривиален и зависит только от ${\displaystyle m}$ , ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle E}$ . Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода , используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера .

Законы сохранения и симметрия

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер ). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике , симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике , симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали , не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила приводя к сохранению углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ . В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3) . Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом ${\displaystyle l}$ (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ , так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (как определено ) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ . Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями . Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$ , атомные орбитали типа ${\displaystyle s}$ ( ${\displaystyle l=0}$ ) и ${\displaystyle p}$ ( ${\displaystyle l=1}$ ). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4) , которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

${\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.}$

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой . В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырёхмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трёхмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом ${\displaystyle n}$ . Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {D} }$ формируют алгебру Ли для ${\displaystyle SO(4)}$ . Проще говоря, эти шесть величин ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша Вселенная — четырёхмерная гиперсфера ; это просто означает, что эта специфическая проблема физики ( проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1) , которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.}$

Фок и Баргман рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном . Недавнее исследование Ефимова С.П. показало, что результат В. Фока переносится из искривлённого импульсного пространства в 4-х мерное координатное . При этом переход от четырёхмерных сферических функций в физическое трёхмерное пространство возникает просто при замене четвёртой "лишней" координаты на мнимый радиус вектор ${\displaystyle \imath r}$ . Найденное координатное пространство оказывается в теории "ближе", чем искривлённое пространство В. Фока.

Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать . Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты , которые обозначены ${\displaystyle (w,\;x,\;y,\;z)}$ , где ${\displaystyle (x,\;y,\;z)}$ представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ . Трёхмерный вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ связан с четырёхмерным вектором ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ на четырёхмерной единичной сфере посредством

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} ={\frac {mk-rpp_{0}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$ — единичный вектор вдоль новой оси ${\displaystyle w}$ . Поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для ${\displaystyle \mathbf {p} }$ . Например, для компоненты ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}$

и аналогично для ${\displaystyle p_{y}}$ и ${\displaystyle p_{z}}$ . Другими словами, трёхмерный вектор ${\displaystyle \mathbf {p} }$ является стереографической проекцией четырёхмерного вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ , умноженному на ${\displaystyle p_{0}}$ (рис. 8).

Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты , где ось ${\displaystyle z}$ направлена вдоль вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ , и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси ${\displaystyle y}$ . Так как движение происходит в плоскости, а ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle L}$ ортогональны, ${\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}$ , и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})}$ . Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ , все из которых пересекают ось ${\displaystyle \eta _{x}}$ в этих двух фокусах ${\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}$ , соответствующих фокусам годографа импульса при ${\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}$ . Большие круги связаны простым вращением вокруг оси ${\displaystyle \eta _{x}}$ (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение ${\displaystyle \eta _{w}}$ . Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ и используя эллиптические цилиндрические координаты ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )}$

${\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\alpha \,\mathrm {cn} \,\beta ,}$

${\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \cos \varphi ,}$

${\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \sin \varphi ,}$

${\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\alpha \,\mathrm {sn} \,\beta ,}$

где используются эллиптические функции Якоби : ${\displaystyle \mathrm {sn} }$ , ${\displaystyle \mathrm {cn} }$ и ${\displaystyle \mathrm {dn} }$ .

Применение и обобщения

Квантовая механика атома водорода

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы . Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на ${\displaystyle i\hbar }$ . Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения ${\displaystyle C_{1}}$ оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр . Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера .

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ должно быть определено тщательно . Как правило, операторы в декартовой системе координат ${\displaystyle A_{s}}$ определены с помощью симметризованного произведения

${\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j}),}$

из которого определяются соответствующие лестничные операторы

${\displaystyle A_{0}=A_{3},}$

${\displaystyle A_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(A_{1}\pm iA_{2}).}$

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

${\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I,}$

где ${\displaystyle H^{-1}}$ — оператор, обратный к оператору энергии ( гамильтониан ) и ${\displaystyle I}$ — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям ${\displaystyle |lmn\rangle }$ операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой ${\displaystyle n^{2}-1}$ . Следовательно, уровни энергии даются выражением

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}$

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис 9).

Обобщение на другие потенциалы и СТО

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности . Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} ,}$

где ${\displaystyle u=1/r}$ (см. теорема Бертрана ) и ${\displaystyle \xi =\cos \theta }$ , с углом ${\displaystyle \theta }$ , определённым как

${\displaystyle \theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}}.}$

Здесь ${\displaystyle \gamma }$ — релятивистский фактор . Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали ${\displaystyle \mathbf {B} }$ , взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}.}$

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.}$

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. Рассмотрим центральную силу:

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} }$

вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно переписать в более простом виде:

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} ,}$

хотя нужно заметить, что ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle r}$ не перпендикулярны, как ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ . Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца имеет более сложную запись

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\{(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+(mr\omega _{0}A-mrE)\mathbf {\hat {r}} \},}$

где ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ — частота осциллятора.

См. также

• Проблема двух тел
• Теорема Бертрана
• Квантовая механика
• Астрофизика

Литература

Ссылки

• Leach, P.G.L.; G.P. Flessas. Generalisations of the Laplace — Runge — Lenz vector (англ.) // (англ.) ( : journal. — 2003. — Vol. 10 . — P. 340—423 . Статья посвящена обобщению вектора Лапласа — Рунге — Ленца на потенциалы, отличные от кулоновского. от 12 августа 2020 на Wayback Machine