Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности . Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.

Определение

Пусть R — целостное кольцо , определим отношение ${\displaystyle \sim }$ на его ненулевых дробных идеалах следующим образом: ${\displaystyle I\sim J}$ тогда и только тогда, когда существуют ненулевые элементы a и b кольца R , такие что ${\displaystyle (a)I=(b)J}$ , легко показать, что это задаёт отношение эквивалентности. Классы эквивалентности по этому отношению называются классами идеалов . Умножение классов, определенное как [ a ]*[ b ] = [ ab ] корректно определено, ассоциативно и коммутативно; главные дробные идеалы образуют класс [ R ], являющийся единицей для этого умножения. Класс [ I ] имеет обратный к нему класс [ J ] тогда и только тогда, когда идеал IJ главный. В общем случае такой J может не существовать и классы идеалов будут всего лишь коммутативным моноидом .

Если R к тому же является дедекиндовым кольцом (например, кольцом алгебраических чисел некоторого алгебраического числового поля ), то у каждого дробного идеала I существует обратный J , такой что IJ = R = (1). Следовательно, классы дробных идеалов дедекиндова кольца с определенным выше умножением образуют абелеву группу , группу классов идеалов кольца R .

Свойства

• Группа классов идеалов тривиальна тогда и только тогда, когда все идеалы кольца R главные, то есть когда R является областью главных идеалов . При этом дедекиндово кольцо факториально тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.
• Число классов идеалов кольцо R в общем случае может быть бесконечным; более того, любая абелева группа изоморфна группе классов некоторого дедекиндова кольца . Однако если R — кольцо целых числового поля, его число классов конечно.
• Вычисление группы классов в общем случае является довольно трудным. Это можно сделать вручную для алгебраического числового поля с малым , используя . Для полей с большим дискриминантом вычисление вручную становится непрактичным, и его обычно проводят при помощи компьютера.

Примеры

Число классов квадратичного поля

Если d — число, свободное от квадратов , то ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ является квадратичным полем . Если d < 0, группа классов тривиальна только для следующих значений: ${\displaystyle d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.}$ Что касается случая d > 0, до сегодняшнего дня остаётся открытой проблемой вопрос о том, бесконечно ли число значений, которым соответствует тривиальная группа классов.

Пример нетривиальной группы классов

${\displaystyle R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ — кольцо целых числового поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}}).}$ Это кольцо не является факториальным; действительно, идеал

${\displaystyle J=(2,1+{\sqrt {-5}})}$

не является главным. Это можно доказать от противного следующим образом. На ${\displaystyle R}$ можно определить функцию нормы ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {5}})=a^{2}+5b^{2}}$ , причем ${\displaystyle N(ab)=N(a)N(b)}$ и ${\displaystyle N(x)=1}$ тогда и только тогда, когда x обратим. Прежде всего, ${\displaystyle J\neq R}$ . Факторкольцо по идеалу ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})}$ изоморфно ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ , поэтому ${\displaystyle R/J\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ . Если J порожден элементом x , то x делит 2 и 1 + √−5. Следовательно, норма x делит 4 и 6, то есть равна 1 или 2. Она не может быть равна 1, так как J не равен R , и не может быть равна 2, так как ${\displaystyle a^{2}+5b^{2}}$ не может иметь остаток 2 по модулю 5. Легко проверить что ${\displaystyle J^{2}=(2)}$ — главный идеал, поэтому порядок J в группе классов равен 2. Однако проверка того, что все идеалы принадлежат одному из этих двух классов, требует чуть больших усилий.

Примечания

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Claborn, Luther (1966), , Pacific Journal of Mathematics , 18 : 219—222, Архивировано из 7 июня 2011 от 7 июня 2011 на Wayback Machine
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6 , MR