Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника ; частный случай формулы Гаусса — Бонне . Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу , в честь которого эта теорема иногда называется.

Формулировка

Полный поворот (то есть интеграл ориентированной кривизны ) простой плоской замкнутой гладкой регулярной кривой равен ${\displaystyle \pm 2{\cdot }\pi }$ . Причём он равен ${\displaystyle +2{\cdot }\pi }$ , если ограниченная область лежит слева от кривой и ${\displaystyle -2{\cdot }\pi }$ в противоположном случае.

Вариации и обобщения

• Теорема Фенхеля о повороте кривой

Замечания

Интеграл ориентированной кривизны плоской замкнутой гладкой регулярной кривой всегда кратен ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ . По теореме любая такая кривая с интегралом ориентированной кривизны, отличным от ${\displaystyle \pm 2{\cdot }\pi }$ должна иметь самопересечения.

Примечания

Литература

• Топоногов, В. А. . — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5 .