Концентрация меры
— принцип, согласно которому при определённых достаточно общих и не слишком обременительных ограничениях значение функции большого числа переменных почти постоянно
.
Например, большинство пар точек на единичной сфере большой размерности находятся на расстоянии, близком к
друг от друга.
Принцип концентрации меры основан на идее
Поля Леви
.
Он был исследован в начале 1970-х годов
Виталием Мильманом
в его работах по локальной теории
банаховых пространств
.
Этот принцип получил дальнейшее развитие в работах Мильмана и
Громова
, Морэ,
Пизье
, Шехтмана,
Талаграна
,
и других.
Основные определения
Пусть
—
метрическое пространство
с
вероятностной мерой
.
Пусть
-
где
-
есть
-окрестность множества
.
Функция
называется
профилем пространства
.
Неформально говоря, пространство
удовлетворят принципу концентрации меры, если его профиль
быстро
убывает при возрастании
.
Более формально, семейство метрических пространств с мерами
называется
семейством Леви
, если для соответствующих профилей
выполняется следующее
-
Если сверх того
-
для некоторых констант
, то последовательность
называется
нормальным семейством Леви
.
Замечания
-
Следующее определение профиля
эквивалентно:
-
-
где
точная верхняя грань
по всем
1-липшицевым функцям
и
медиана
определяемая следующей парой неравенств
-
Концентрация меры на сфере
Первый пример восходит к
Полю Леви
.
Согласно
сферическому изопериметрическому неравенству
, среди всех подмножеств
сферы
с заданной сферической мерой
сферический сегмент
-
для любого
имеет самую маленькую
-окрестность
для любого фиксированного
.
Применяя это наблюдение для однородной вероятностной меры
на
и множества
такого, что
, получаем следующее неравенство:
-
где
— универсальные константы.
Поэтому последовательность
является
нормальным семейством Леви
, и принцип концентрации меры выполняется для этой последовательности пространств.
Применения
-
Предположим,
обозначает множество всех выпуклых многоугольников в единичном квадрате с вершинами в
-решётке
. Тогда при малых
большинство многоугольников из
лежат близко к некоторому выпуклому множеству
.
-
Точнее говоря,
описывается неравенством
-
-
Лемма о малом искажении
-
Теорема Дворецкого
См. также
Примечания
-
Michel Talagrand, A New Look at Independence, The Annals of Probability, 1996, Vol. 24, No.1, 1-34
-
Bárány, Imre. "The limit shape of convex lattice polygons." Discrete & Computational Geometry 13.1 (1995): 279-295.
Дальнейшее чтение
-
Ledoux, Michel.
The Concentration of Measure Phenomenon
(неопр.)
. — American Mathematical Society, 2001. —
ISBN 0-8218-2864-9
.
-
A. A. Giannopoulos, V. Milman,
, Advances in Mathematics 156 (2000), 77—106.