Скручивание Дена — определенный тип гомеоморфизма поверхности на себя.

Построение

Пусть c является простой замкнутой кривой на замкнутой, ориентированной поверхности S . Обозначим через A трубчатую окрестность c . Окрестность A является кольцом , в частности, её можно параметризовать парой чисел ( s, t ), где s — комплексное число с единичным модулем, а t лежит в вещественном интервале (0,1).

Пусть f есть отображение S на себя, которое тождественно вне A , а на A записывается в вышеприведённых координатах как

${\displaystyle f(s,t)=(s{\cdot }e^{2\pi it},t).}$

Тогда f — скручивание Дена вдоль кривой c .

Свойства

• С точностью до изотопии , композициями скручиваний Дена можно получить все гомеоморфизмы поверхности на себя, сохраняющие ориентацию.
  • Иначе говоря, скручивания Дена дают систему образующих группы классов преобразований поверхности .
  • Более того, на поверхности рода ${\displaystyle g>1}$ можно ограничиться ${\displaystyle 2g+1}$ кривой.

Вариации и обобщения

• Скручивания Дена могут также быть определены на неориентированной поверхности S , при условии, что кривая с не является дезориентрующей.

Ссылки

• Andrew J. Casson, Steven A Bleiler, Automorphisms of Surfaces After Nielsen and Thurston , Cambridge University Press , 1988. ISBN 0-521-34985-0 .
• Stephen P. Humphries, Generators for the mapping class group , in: Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), pp. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer , Berlin, 1979. MR :
• W. B. R. Lickorish, A representation of orientable combinatorial 3-manifolds. Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540. MR :
• W. B. R. Lickorish, A finite set of generators for the homeotopy group of a 2-manifold , Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. MR :