Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G , в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.

История

Понятие было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый»). Мотивировкой послужил парадокс удвоения шара .

Изначальное определение было дано в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры на подмножествах группы G .

В 1949 году Махлон Дэй ввёл в употребление термин аменабельный (от английского «послушный»), которое закрепилось .

Определение для локально компактных групп

Рассмотрим локально компактную хаусдорфову группу G с её мерой Хаара ${\displaystyle \mu }$ . Рассмотрим банахово пространство в L ^∞ ( G ) ограниченных измеримых функций.

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom( L ^∞ ( G ), R ) называется усреднением, если Λ имеет норму 1 и неотрицателен, то есть f ≥ 0 почти везде влечёт Λ( f ) ≥ 0.

Определение 2. Усреднение Λ в Hom( L ^∞ ( G ), R ) называется левоинвариантным (соответственно, правоинвариантным ), если Λ( g · f ) = Λ( f ) для всех g в G , и f в L ^∞ ( G ) по отношению к левому (соответственно, правому) сдвигу g · f (x) = f( g ⁻¹ ·х )(соответственно, f · g (x) = f ( х·g ⁻¹ )).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной , если она допускает левoинвариантнoe (или правоинвариантное) усреднение.

Эквивалентные условия

• Наличие фиксированной точки. Любое действие группы аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве сепарабельного локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку. ^{[ источник не указан 871 день ]}
• Критерий Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φ _n с интегралом 1 на G такая, что g·φ _n − φ _n стремится к 0 в слабой топологии на L ¹ ( G ).
• Критерий Рейтера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F в G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что g·φ − φ является сколь угодно малой в L ¹ ( G ) для любого g из F .
• Критерий Гликсберга — Райтера. Для любой f в L ¹ ( G ), расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в L ¹ ( G ) левых сдвигов f равно |∫ f |.
• Критерий Фёлнера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F в G существует измеримое подмножество U в G с конечной положительной мерой Хаара такое, что значение ${\displaystyle \mu (F\cdot U)/\mu (U)}$ сколь угодно близко к 1.
• Критерий Кестена . Левая свертка на L ² ( G ) с симметричной вероятностной мерой на G дает оператор оператор нормы 1.
• Гомологический критерий Джонсона. Банахова алгебра А = L ¹ ( G ) аменабельна как Банахова алгебра.

Случай дискретных групп

Определение аменабельности проще в случае дискретной группы , то есть когда группа оснащена дискретной топологией.

Определение. Дискретная группа G аменабельна, если существует левоинвариантная конечно-аддитивная вероятностная мера μ на G .

Это определение эквивалентно определению в терминах L ^∞ ( G ), данному выше.

Мера μ на G позволяет определить интеграл ограниченных функций на G . Для ограниченной функции f : G → R , интеграл

${\displaystyle \int \limits _{G}fd\mu }$

определяется как в случае интеграла Лебега . (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега не выполняются, так как наша мера только конечно-аддитивна.)

Если группа допускает левоинвариантную меру, то она также допускает би-инвариантную меру. Действительно, по левоинвариантной мере μ строится правоинвариантная мера μ ⁻ ( A ) = μ ( A ⁻¹ ). Эти две меры определяют би-инвариантную меру следующим образом:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.}$

Эквивалентные условия для аменабельных групп также становятся проще в случае счетной дискретной группы Γ . Для такой группы следующие условия эквивалентны:

• Γ аменабельна.
• Существует левоинвариантный непрерывный функционал μ на ℓ ^∞ (Γ) с μ (1) = 1.
• Существует множество вероятностных мер μ _n на Γ таких, что ||g · μ _n — μ _n || ₁ стремится к 0 для каждого g в Γ.
• Существуют единичные векторы х _n в ℓ ² (Γ) такие, что ||g · х _n − х _n || ₂ стремится к 0 для каждого g в Γ.
• Существуют конечные подмножества S _n из Γ такие, что | g · S _n Δ S _n | / | S _n | стремится к 0 для каждого g в Γ.
• Если μ является симметричной вероятностной мерой на Γ с системой образующих как носителем, то свёртка по μ определяет оператор нормы на 1 в ℓ ² (Γ).
• Если Γ действует изометриями на сепарабельном банаховом пространстве Е , и f в ℓ ^∞ (Γ, Е *) — ограниченный 1-коцикл, то есть f ( g·h ) = f ( g ) + g · f ( h ), тогда f — 1-кограница, то есть f ( g ) = g ·φ − φ для некоторого φ в Е *.

Свойства

• Замкнутая подгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Факторгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Расширение аменабельной группы аменабельно.
  • В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно. Тем не менее, бесконечное произведения не обязаны быть аменабельными.
• Прямые пределы аменабельных групп аменабельны.
  • В частности, если группа может быть записана в виде объединения возрастающей последовательности аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
• Свойство аменабельности локально , то есть группа аменабельна тогда и только тогда, когда все её конечно-порождённые подгруппы аменабельны.

Примеры

• Компактные группы аменабельны.
  • В частности, конечные группы аменабельны.
• Все разрешимые группы аменабельны. В частности,
  • все абелевы группы аменабельны.
  • группа целых чисел аменабельна.

Примеры выше называются элементарными аменабельными группами. Они строятся из конечных и абелевых групп с помощью стандартного набора операций. Существование неэлементарных аменабельных групп гарантируется следующим примером.

• Конечно порожденные группы субэкспоненциального роста аменабельны.

Контрпримеры

• Счётная дискретная группа, содержащая свободную подгруппу с двумя образующими, неаменабельна.
  • Обратное утверждение является гипотезой фон Неймана, она была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского.
    • Адян впоследствии показал, что свободные бёрнсайдовы группы неаменабельны.
    • Эти группы конечно порождены, но не конечно представлены. В 2002 году Сапир и Ольшанский нашли примеры неаменабельных конечно представленных групп .
  • Для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна по теореме Титса : в каждой подгруппе GL ( n, k ) над полем k либо есть нормальная разрешимая подгруппа конечного индекса (и, следовательно, группа аменабельна), либо содержится свободная подгруппа с двумя образующими.

Связанные свойства

• представляет собой, неформально говоря, полную противоположность аменабельности, за исключением случая компактных (в дискретном случае — конечных) групп .
• обобщают одновременно аменабельные и остаточно конечные группы ; неформально говоря, софическая группа локально хорошо приближается конечной группой, ср. с критерием Фёлнера. На 2021 год неизвестно, включает ли этот класс все дискретные счётные группы .

Примечания

Ссылки

• Т.В. Нагнибеда. (рус.) // Общеинститутский семинар «Коллоквиум МИАН». — 2 ноября 2017.
• Brooks, Robert (1981), "The fundamental group and the spectrum of the laplacian", Comment. Math. Helv. , 56 : 581—598, doi :
• Dixmier, Jacques (1977), C*-algebras (translated from the French by Francis Jellett) , North-Holland Mathematical Library, vol. 15, North-Holland
• Greenleaf, F.P. (1969), Invariant Means on Topological Groups and Their Applications , Van Nostrand Reinhold
• Juschenko, Kate; Monod, Nicolas (2013), "Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups", Annals of Mathematics , 178 (2): 775—787, doi :
• Leptin, H. (1968), "Zur harmonischen Analyse klassenkompakter Gruppen", Invent. Math. , 5 : 249—254, doi :
• Pier, Jean-Paul (1984), Amenable locally compact groups , Pure and Applied Mathematics, Wiley, Zbl
• Runde, V. (2002), Lectures on Amenability , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1774, Springer, ISBN 9783540428527
• Sunada, Toshikazu (1989), "Unitary representations of fundamental groups and the spectrum of twisted Laplacians", Topology , 28 : 125—132, doi :
• Takesaki, M. (2002a), Theory of Operator Algebras , vol. 2, Springer, ISBN 9783540422488
• Takesaki, M. (2002b), Theory of Operator Algebras , vol. 3, Springer, ISBN 9783540429142
• Valette, Alain (1998), "On Godement's characterisation of amenability", Bull. Austral. Math. Soc. , 57 : 153—158, doi :
• von Neumann, J (1929), (PDF) , Fund. Math. , 13 (1): 73—111