Interested Article - Комптоновская длина волны

Ко́мптоновская длина́ волны́ ( λ _C ) — параметр элементарной частицы : величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы. Название параметра связано с именем А. Комптона и комптоновским эффектом .

Вычисление

Из опыта Комптона следует:

\lambda _{C}={\frac {h}{mc}}

;

Здесь: $mc$ — величина 4-вектора энергии-импульса покоящейся частицы.

Для электрона, λ e
C ≈ 0,0242 Å ≈ 2,4263102367(11)⋅10 ⁻¹² м; для протона, λ p
C ≈ 0,0000132 Å ≈ 1,32140985396(61)⋅10 ⁻¹⁵ м.

Длина волны $\lambda _{C}$ для покоящейся частицы массы $m$ определяет период вращения амплитуды вероятности. , квадрат которой является вероятностью того, что частица переместится из одной точки 4-пространства-времени в другую. Для покоящейся частицы это перемещение происходит только во времени, но не в пространстве. Следовательно можно написать цепочку равенств:

\lambda _{C}=cT_{0}=c\cdot {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}={\frac {h}{mc}}

;

Здесь: $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$ — частота вращения амплитуды вероятности;
Из последних двух равенств вытекает:

E_{0}=mc^{2}=\hbar {\omega _{0}}

;

Где: $E_{0}$ — энергия покоящейся частицы;

\hbar ={\frac {h}{2\pi }}

;

Приведённая комптоновская длина волны

В современной физике чаще употребляется приведённая комптоновская длина волны, которая меньше в 2 π раз. Приведённая комптоновская длина волны обратна комптоновскому волновому числу:

{\overline {\lambda }}_{C}={\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}.

Для электрона, λ e
C ≈ 0,00386 Å ≈ 3,8615926764(18)⋅10 ⁻¹³ м; для протона, λ p
C ≈ 0,0000021 Å ≈ 2,10308910109(97)⋅10 ⁻¹⁶ м.

В физике ядра и элементарных частиц также имеют важное значение (приведённые) комптоновские длины волн:

пи-мезона : λ π
C ≈ 1,46⋅10 ⁻¹⁵ м (характерное расстояние ядерных взаимодействий );
W-бозона : λ W
C ≈ 2,45⋅10 ⁻¹⁸ м (характерное расстояние слабых взаимодействий ).

Приведённая комптоновская длина волны часто возникает в уравнениях квантовой механики и квантовой теории поля. Так, в релятивистском уравнении Клейна — Гордона для свободной частицы

\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi

эта величина (в квадрате) выступает как множитель в правой части. В таком же качестве она появляется и в уравнении Дирака :

i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi .

Хотя в традиционное представление уравнения Шрёдингера комптоновская длина волны в явном виде не входит, его можно преобразовать так, чтобы она «проявилась». Так, нестационарное уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме с зарядовым числом ядра Z

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi

можно разделить на $\hbar c$ и переписать так, чтобы заменить элементарный заряд e на постоянную тонкой структуры α :

{\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{m_{e}c}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .

В результате комптоновская длина волны электрона возникает как множитель в первом члене правой части.

В квантовой теории поля часто применяется упрощающая формулы естественная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны 1. В такой системе единиц комптоновская длина частицы просто обратна её массе: λ _C = 1/ m .

Происхождение названия

Название «комптоновская длина волны» связано с тем, что величина λ e
C определяет изменение длины волны электромагнитного излучения в эффекте Комптона .

В квантовой теории поля

Частица, локализованная в области с линейными размерами не более λ _C , согласно соотношению неопределённостей имеет квантовомеханическую неопределённость в импульсе не менее mc и неопределённость в энергии не менее mc ² , что достаточно для рождения пар частиц-античастиц с массой m . В такой области элементарная частица, вообще говоря, уже не может рассматриваться как «точечный объект», потому что часть времени она проводит в состоянии «частица + пары». В результате на расстояниях, меньших λ _C , частица выступает как система с бесконечным числом степеней свободы и её взаимодействия должны описываться в рамках квантовой теории поля — в этом фундаментальная роль параметра λ _C , определяющего минимальную погрешность, с которой может быть измерена координата частицы в её системе покоя. В частности, переход в промежуточное состояние «частица + пары», осуществляющийся за время ~λ/с , характерное для рассеяния света с длиной волны λ , при λ ≤ λ _C приводит к нарушению законов классической электродинамики в комптон-эффекте .

В действительности во всех случаях размер области, где частица перестаёт быть «точечным объектом», зависит не только от её комптоновской длины, но и от комптоновских длин других частиц, в которые данная частица может динамически превращаться. Но, например, для лептонов, не обладающих сильным взаимодействием, переход в другие состояния маловероятен (можно сказать, что он происходит редко или требует большого времени). Поэтому лептонная «шуба» из пар является как бы прозрачной, и во многих задачах лептоны с хорошей точностью могут рассматриваться как «точечные частицы». Для тяжёлого адрона, например нуклона N , эффективный размер области, где начинает проявляться «шуба», значительно больше комптоновской длины нуклона и определяется комптоновской длиной самого лёгкого из адронов — пиона π (заметим, что λ π
C ≈ 7 λ N
C ). В области с линейным размером порядка λ π
C нуклоны с большой интенсивностью (из-за сильного взаимодействия) переходят в промежуточные состояния «нуклон + пионы», поэтому нуклонная «шуба», в отличие от лептонной, плотная.

Таким образом, эффективная область, где частица перестаёт проявляться как «точечная», определяется не только соответствующими комптоновскими длинами волн, но и константами взаимодействия данной частицы с другими частицами (полями).

См. также

Примечания

↑ от 8 декабря 2013 на Wayback Machine Fundamental Physical Constants — Complete Listing
Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. Пер. с англ. — М,; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 . — С. 26 — 33, 81 — 82, 111—112. 144 стр. -Б — ка «Квант». Вып. 66.