Окружность называют вписанной в угол , если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник , если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

В многоугольнике

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

• Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади ${\displaystyle S}$ к его полупериметру ${\displaystyle p}$ :

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}}$

В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
• Центр ${\displaystyle I}$ вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в треугольник окружности равен:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника, ${\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}$ — высоты, проведённые к соответствующим сторонам ;

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника, а ${\displaystyle p}$ — его полупериметр.

${\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}}$ , ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника ( Теорема котангенсов ).

• Если ${\displaystyle AB}$ — основание равнобедренного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ , то окружность, касающаяся сторон угла ${\displaystyle \angle ACB}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , проходит через центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ .
• Теорема Эйлера : ${\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}}$ , где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной в него окружности, ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности, ${\displaystyle I}$ — центр вписанной окружности .

${\displaystyle |OI|^{2}={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$

• Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне ${\displaystyle AB}$ , пересекает стороны ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CA}$ в точках ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$ , то ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}$ .
• Если точки касания вписанной в треугольник ${\displaystyle T}$ окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник ${\displaystyle T_{1}}$ со свойствами:
  • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T ₁
  • Пусть T ₂ — ортотреугольник T ₁ . Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  • Пусть T ₃ — серединный треугольник T ₁ . Тогда биссектрисы T являются высотами T ₃ .
  • Пусть T ₄ — ортотреугольник T ₃ , тогда биссектрисы T являются биссектрисами T ₄ .
• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой c окружности равен ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}$ .
• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно ${\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}$ .
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно ${\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}$ , где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C .
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}$ и ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}$
• Теорема о трезубце или теорема трилистника : Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC , I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC , тогда ${\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$ .

• Лемма Веррьера : пусть окружность ${\displaystyle V}$ касается сторон ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle AC}$ и дуги ${\displaystyle BC}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Тогда точки касания окружности ${\displaystyle V}$ со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ лежат на одной прямой.

• Теорема Фейербаха . Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей , а также вписанной окружности . Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха .

Связь вписанной и описанной окружностей

• Формула Эйлера : Если ${\displaystyle d}$ — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$ соответственно, то ${\displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr}$ .
• Формулы для отношения и произведения радиусов:

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$ ,

${\displaystyle {\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1}$

где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника, ${\displaystyle S}$ — его площадь.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности .

• Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью , пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную .
• Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника

• Теорема Ригби . Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность , то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой. .
• Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности , проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре .

В четырёхугольнике

• Описанный четырёхугольник , если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым .
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками . Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито .
• Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: ${\displaystyle AB+CD=BC+AD}$ .

• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой ( теорема Ньютона ). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона . На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон ( ).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса вписанной в сферический треугольник окружности равен ^:73-74

${\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}}$

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника ^:20-21 .

Обобщения

• Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника .
• Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.

См. также

Примечания

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М. : Просвещение , 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3 .
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble , LCCN