Пряма́я Э́йлера — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника .

Свойства

• Прямая Эйлера проходит через:
  • Центроид треугольника
  • Ортоцентр треугольника
  • Точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности)
  • Центр окружности девяти точек
  • Точка Эксетера X(22)
  • Теорема Эйлера. Точка пересечения медиан M лежит на прямой Эйлера и делит отрезок между центром описанной окружности O и ортоцентром H в отношении 1:2 ( ${\displaystyle OM:MH=1:2}$ ).
  • Прямая ${\displaystyle X(485)X(486)}$ , проходящая через две точки Вектена ${\displaystyle X(485)}$ и ${\displaystyle X(486)}$ , пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника ${\displaystyle ABC}$ .
  • Уравнение прямой Эйлера в трилинейных координатах есть

    ${\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.}$

• На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника , с прямыми, содержащими стороны треугольника . Эта прямая называется ортоцентрической осью , она перпендикулярна прямой Эйлера.

• Теорема Шиффлера утверждает следующее: Если в треугольнике ABC с центром вписанной окружности I рассмотреть три треугольника BCI , CAI и ABI , то их три ( первые ) прямые Эйлера, а также ( первая ) прямая Эйлера треугольника ABC (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — в точке Шиффлера Sp (см. рис. справа).

Вторая прямая Эйлера (прямая Эйлера — Нагеля)

Указанную выше прямую Эйлера иногда называют (первой) обобщённой прямой Эйлера . На этой прямой лежат 4 точки:

• центроид данного треугольника (он же — центроид дополнительного треугольника , и он же — центроид антидополнительного треугольника )
• ортоцентр данного треугольника ABC
• центр описанной окружности данного треугольника ABC (он же — центр окружности Эйлера антидополнительного треугольника A"B"C" )
• центр окружности Эйлера данного треугольника ABC
• Некоторые авторы добавляют ещё точку Лоншана L — точку зеркального отражения ортоцентра треугольника ABC относительно его центра описанной окружности. Эта точка — ортоцентр антидополнительного треугольника .

Вторую прямую Эйлера или прямую Эйлера — Нагеля определяет следующая .

• уточнённая (Housel). Центр тяжести ( G ) данного треугольника ABC ( центроид ), центр вписанной окружности ( I ), его точка Нагеля ( M ) и центр ( S ) круга, вписанного в дополнительный треугольник A’B’C' (или в Центр Шпикера ), лежат на одной прямой . Более того ,

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.}$

На этой прямой лежат 4 точки:

• центроид ( G ) данного треугольника (он же — центроид дополнительного треугольника , и он же — центроид антидополнительного треугольника ).
• точка Нагеля ( M ) данного треугольника ABC (она же — центр круга, вписанного в антидополнительный треугольник A"B"C" )
• центр вписанной окружности ( I ) данного треугольника ABC
• центр ( S ) круга, вписанного в дополнительный треугольник A’B’C' , называемый также центром Шпикера .

• Все обобщённые прямые Эйлера обязательно проходят через центроид данного треугольника, являющегося одновременно центроидами дополнительного треугольника и антидополнительного треугольника .

Перспектор Госсарда и прямые Эйлера

Если брать у треугольника ABC любую пару сторон, а третьей стороной брать первую прямую Эйлера треугольника ABC , то перебором трёх вариантов можно построить три треугольника. Их первые прямые Эйлера образуют треугольник AgBgCg , конгруэнтный треугольнику ABC (равный ему, но повëрнутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяющие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой перспектором Госсарда .

Ссылка

Перспектор Госсарда (Gossard Perspector)

История

Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером . Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера .

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Прямая Обера
• Прямая Симсона

Примечания

Литература

• Leonhard Euler . // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, т. 11. — С. 103—123. Перепечатано в Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139—157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061.
• Дм. Ефремов. . — 1902.
• Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М. : Просвещение , 1991. — С. 96—97. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3 . .
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М. : Учпедгиз, 1962. — 153 с.