Interested Article - Ряд Фурье
![](/images/008/276/8276468/1.jpg?rand=330013)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/655bd50b2d4d9a77bdff70250cb13dfa.gif)
- 2020-12-31
- 1
![](/images/008/276/8276468/1.jpg?rand=231393)
Ряд Фурье́ — представление функции с периодом в виде ряда
Этот ряд может быть также записан в виде
где
- — амплитуда Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle k} -го гармонического колебания,
- — круговая частота гармонического колебания,
- — начальная фаза -го колебания,
- — -я комплексная амплитуда
В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису , состоящему из ортогональных функций . В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана , Фурье — Лебега и т. п.
Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара , Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.
Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании , интегрировании , сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.
Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы ( теорема полноты ).
История
Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли . Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией . Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.
Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.
С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.
Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики , теории перекрытия-оболочки и т. д.
Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье функции (то есть функции, суммируемой на промежутке , или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида
- (1)
где
Числа , и ( ) называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для .
Ряд (1) для функции из пространства сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):
- ,
то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:
- .
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением
- .
Мы также рассматриваем систему функций
-
- .
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:
- ,
где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь
- .
Коэффициенты связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:
Для вещественнозначной функции коэффициенты и комплексно сопряжены.
Обобщения
Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система в гильбертовом пространстве и — произвольный элемент из . Предположим, что мы хотим представить в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов :
Домножим это выражение на . С учётом ортогональности системы функций все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при :
Числа
называются координатами , или коэффициентами Фурье элемента по системе , а ряд
называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе .
Ряд Фурье любого элемента по любой ортогональной системе сходится в пространстве , но его сумма не обязательно равна . Для ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:
- система является базисом , то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
- система является полной , то есть в не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам одновременно.
- система является замкнутой , то есть для любого выполнено равенство Парсеваля
-
- .
- линейные комбинации элементов плотны в пространстве .
Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя :
Тригонометрические функции , образуют базис гильбертова пространства . Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций - это все четные функции из , а замыкание линейной оболочки функций - все нечетные функции. Результатом разложения функции в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции :
Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы . Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди . Элементы этого пространства -- те и только те функции , которые имеют вид , где — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге
Двойственность Понтрягина
При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных , интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах . Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.
Сходимость ряда Фурье
![](/images/008/276/8276468/100.jpg?rand=206188)
Обзор результатов о сходимости ряда Фурье
Обозначим через частичные суммы ряда Фурье функции :
- .
Далее обсуждается сходимость последовательности функций к функции в различных смыслах. Функция предполагается -периодической (если она задана только на промежутке , её можно периодически продолжить).
- Если , то последовательность сходится к функции в смысле . Кроме того, являются наилучшим (в смысле расстояния в ) приближением функции тригонометрическим многочленом степени не выше .
- Сходимость ряда Фурье в заданной точке — локальное свойство, то есть, если функции и совпадают в некоторой окрестности , то последовательности и либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
- Если функция дифференцируема в точке , то её ряд Фурье в этой точке сходится к . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции задаются признаком Дини .
- Функция, непрерывная в точке , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к . Это следует из того, что для непрерывной в функции последовательность сходится по Чезаро к .
- Если функция разрывна в точке , но имеет пределы в этой точке справа и слева то при некоторых дополнительных условиях сходятся к . Подробнее см. модифицированный признак Дини .
- Теорема Карлесона: если , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду . Это верно и если . Однако, существуют функции из , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым ).
- Зафиксируем точку . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.
Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции
Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное — аналитическим функциям . Примеры такого рода связи:
- Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю ( ).
- Если функция принадлежит классу , то есть дифференцируема раз и её -я производная непрерывна, то
- Если ряд сходится абсолютно , то совпадает почти всюду с функцией класса при всех .
- Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем , то ряд сходится абсолютно ( ). [ источник не указан 376 дней ]
См. также
Примечания
- . — М. : «Сов. энциклопедия » , 1988. — С. .
- Fetter, Alexander L. / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. — Courier, 2003. — P. 209—210. — ISBN 978-0-486-43261-8 . от 18 апреля 2021 на Wayback Machine
- Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century // / Ten, C. L.. — Routledge , 2013. — Т. Volume VII: The Nineteenth Century. — С. 204. — ISBN 978-1-134-92880-4 . 16 мая 2020 года.
- Florian Cajori . . — Macmillan, 1893. — С. 283.
- Journal für die reine und angewandte Mathematik . — 1829. — Vol. 4 . — P. 157—169 . — arXiv : . (фр.) //
- (нем.) . , Göttingen ; 1854. Abhandlungen der , vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by . 20 мая 2008 года.
- Mascre, D.; Riemann, Bernhard (1867), "Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series", in Grattan-Guinness, Ivor (ed.), , Elsevier (published 2005), p. 49
- Remmert, Reinhold. (англ.) . — Springer, 1991. — P. 29. 16 мая 2020 года.
- Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. (англ.) . — Elsevier , 1995. — ISBN 0-12-515751-7 .
- Flugge, Wilhelm. (нем.) . — Berlin: Springer-Verlag , 1957. 14 мая 2020 года.
Литература
- Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
- Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
- Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М. : «Наука», 1964. — Т. 2.
- Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М. : «Мир», 1965. — Т. 1.
- Харди Г. Х. , Ряды Фурье. — М. : Физматгиз , 1959.
- Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям : учеб. пос. / А. П. Хромов , В. А. Халова ; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2009. ISBN 978-5-292-03945-7
Ссылки
- .
- .
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/655bd50b2d4d9a77bdff70250cb13dfa.gif)
- 2020-12-31
- 1