Interested Article - Ряд из натуральных чисел

Первые четыре частичные суммы натурального ряда. Изображённая парабола является сглаживающей асимптотой этих сумм и пересекает ось ординат на отметке −1/12

Ряд из натуральных чисел числовой ряд (бесконечная сумма элементов), членами которого являются последовательные натуральные числа : ; при этом n частичная сумма ряда является треугольным числом :

которое неограниченно растёт при стремлении к бесконечности . Из-за того, что последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела , ряд расходится , то есть не имеет конечной суммы.

Из-за расходимости ряд не имеет никакой значимой ценности для традиционных математических подходов. Но при некотором уровне манипулирования можно получить нетривиальные результаты, находящие применение в комплексном анализе , квантовой теории поля [ источник не указан 2008 дней ] и теории струн .

Специальные методы суммирования

В математике существуют методы суммирования, которые позволяют присвоить определённые числовые значения (конечные) даже расходящимся рядам. Одним из таких способов является метод, основанный на регуляризации аналитического продолжения дзета-функции Римана . Другим популярным вариантом является . Многие из подобных методов присваивают ряду одинаковое значение в виде отрицательной дроби:

Частичные суммы

Первые шесть треугольных чисел

Частичными суммами натурального ряда являются 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Таким образом, n -я частичная сумма выражается формулой

Это выражение было известно ещё Пифагору в VI веке до нашей эры . Числа такого вида называются треугольными, так как они могут быть представлены в виде треугольника.

Бесконечная последовательность треугольных чисел стремится к и, следовательно, бесконечная сумма натурального ряда также стремится к . Такой результат является следствием невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда .

Суммируемость

В сравнении с другими классическими расходящимися рядами, натуральному ряду сложнее приписать имеющее смысл некоторое конечное числовое значение. Существует множество методов суммирования, некоторые из которых являются более устойчивыми и мощными. Так, например, суммирование по Чезаро является широко известным методом, который суммирует умеренно расходящийся ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + … и приписывает ему конечное значение 1/2. Суммирование методом Абеля представляет собой более мощный метод, который, кроме ряда Гранди, позволяет также суммировать более сложный знакочередующийся ряд натуральных чисел и присвоить ему значение 1/4.

В отличие от упомянутых выше рядов, как суммирование по Чезаро , так и метод Абеля неприменимы к натуральному ряду. Эти методы работают только со сходящимися и гармоническими рядами и не могут быть использованы для ряда, частичные суммы которого стремятся к +∞ . Большинство элементарных определений суммы расходящегося ряда являются линейными и устойчивыми, а любой линейный и устойчивый метод не может присвоить натуральному ряду конечное значение.

Следовательно, для этого случая возможно применение только специальных методов, таких как регуляризация дзета-функцией или суммирование Рамануджана.

Эвристические предпосылки

Отрывок из первой заметки Рамануджана , описывающей конечное значение ряда

В главе 8 первого сборника своих трудов Рамануджан показал, что «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», используя два способа . Ниже излагается более простой метод, состоящий из двух этапов.

Первое ключевое наблюдение состоит в том, что ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … похож на знакочередующийся ряд натуральных чисел 1 − 2 + 3 − 4 + … . Несмотря на то, что этот ряд также является расходящимся, с ним намного проще работать. Существует несколько классических способов присвоить конечное значение этому ряду, известных ещё с XVIII века.

Для того, чтобы привести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … к виду 1 − 2 + 3 − 4 + … , мы можем вычесть 4 из второго члена, 8 из четвёртого члена, 12 из шестого и т. д. Общая величина, которую нужно вычесть, выражается рядом 4 + 8 + 12 + 16 + … , который получается умножением исходного ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4. Эти выражения можно записать в алгебраической форме. Что бы из себя ни представляла «сумма», введём для неё обозначение c = 1 + 2 + 3 + 4 + … , умножим полученное уравнение на 4 и вычтем второе из первого:

Второе ключевое наблюдение заключается в том, что ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … является разложением в степенной ряд функции 1/(1 + x ) 2 при x , равном 1. Соответственно, Рамануджан заключает:

Поделив обе части на −3, получаем c = −1/12.

Строго говоря, существует неоднозначность при работе с бесконечными рядами в случае использования методов, предназначенных для конечных сумм (наподобие тех методов, что были использованы выше), в особенности если эти бесконечные ряды расходятся. Неоднозначность заключается в том, что если вставить ноль в любое место в расходящемся ряде, существует вероятность получить противоречивый результат. Например, действие 4 c = 0 + 4 + 0 + 8 + … противоречит свойствам сложения .

Одним из способов обойти эту неопределённость и тем самым ограничить позиции, куда можно вставить ноль, является присвоение каждому члену ряда значения некоторой функции. Для ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … , каждый член n представляет собой натуральное число, которое может быть представлено в виде функции n s , где s — некоторая комплексная переменная. Используя такое представление, можно гарантировать, что все члены ряда последовательны. Таким образом, присвоив s значение −1, можно выразить рассматриваемый ряд в строгом виде. Реализация этого способа носит название регуляризации дзета-функцией .

Регуляризация дзета-функцией

График функции ζ ( s ). Для s > 1 , ряд сходится и ζ ( s ) > 1 . Аналитическое продолжение в окрестности s = 1 приводит к отрицательным значениям, в частности ζ (−1) = −1/12

В этом методе, ряд заменяется рядом . Последний ряд является частным случаем ряда Дирихле . Если действительная часть s больше 1, ряд Дирихле сходится, и его сумма представляет собой дзета-функцию Римана ζ ( s ). С другой стороны, если действительная часть s меньше или равна 1, ряд Дирихле расходится. В частности, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... , который получается подстановкой s = −1, не является сходящимся. Преимущества перехода к дзета-функции Римана заключается в том, что, используя метод аналитического продолжения , она может быть определена для s ⩽ 1. Следовательно, мы можем получить значение регуляризованной дзета-функции ζ (−1) = −1/12.

Существует несколько способов доказать, что ζ (−1) = −1/12. Один из методов использует связь между дзета-функцией Римана и η ( s ). Эта-функция выражается знакопеременным рядом Дирихле, согласуясь тем самым с ранее представленными эвристическими предпосылками. Тогда как оба ряда Дирихле сходятся, следующие тождества верны:

Тождество остаётся справедливым если мы продолжим обе функции аналитически в область значений s , где вышезаписанные ряды расходятся. Подставляя s = −1 , получим −3 ζ (−1) = η (−1). Отметим, что вычисление η (−1) является более простой задачей, так как значение эта-функции выражается значением суммы Абеля соответствующего ряда и представляет собой односторонний предел :

Поделив обе части выражения на −3, получаем ζ (−1) = −1/12.

Суммирование методом Рамануджана

Суммирование ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... методом Рамануджана также позволяет получить значение −1/12. В своём втором письме к Х. Г. Харди , датированном 27 февраля 1913, Рамануджан пишет :

Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8 февраля 1913 года. Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить «Бесконечные ряды» Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. … Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12 . Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме.

Метод суммирования Рамануджана заключается в изолировании постоянного члена в формуле Эйлера — Маклорена для частичных сумм ряда. Для некоторой функции f , классическая сумма Рамануджана для ряда определена как

где f (2 k −1) представляет собой (2 k −1)-ю производную функции f и B 2 k является 2 k числом Бернулли : B 2 = 1/6 , B 4 = −1/30 и т. д. Принимая f ( x ) = x , первая производная f равна 1, а все остальные члены стремятся к нулю, поэтому:

Для избежания противоречий современная теория метода суммирования Рамануджана требует, чтобы функция f являлась «регулярной» в том смысле, что её производные высших порядков убывают достаточно быстро для того, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера — Маклорена стремились к 0. Рамануджан неявно подразумевал это свойство. Требование регулярности помогает избежать использования метода суммирования Рамануджана для рядов типа 0 + 2 + 0 + 4 + … потому, что не существует регулярной функции, которая выражалась бы значениями такого ряда. Такой ряд должен интерпретироваться с использованием регуляризации дзета-функцией.

Несостоятельность устойчивых линейных методов суммирования

Линейный и устойчивый метод суммирования не в состоянии присвоить конечное значение ряду 1 + 2 + 3 + … (Устойчивый означает, что добавление члена в начало ряда увеличивает сумму ряда на величину этого члена.) Это утверждение может быть продемонстрировано следующим образом. Если

1 + 2 + 3 + … = x ,

тогда, добавляя 0 к обеим частям, получаем

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x ,

исходя из свойства устойчивости. Вычитая нижний ряд из верхнего, получаем

1 + 1 + 1 + … = x x = 0,

исходя из свойства линейности. Добавляя 0 к обеим частям повторно, получаем

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

и вычитая два последних ряда, приходим к

1 + 0 + 0 + … = 0,

что противоречит свойству устойчивости.

Методы, использованные выше, для суммирования 1 + 2 + 3 + … являются либо только устойчивыми, либо только линейными. Например, существует два разных метода, называемых регуляризацией дзета-функцией. Первый является устойчивым, но нелинейным и определяет сумму a + b + c + … множества чисел как значение аналитического продолжения выражения 1/ a s + 1/ b s + 1/ c s + при s = −1. Второй метод линейный, но неустойчивый и определяет сумму последовательности чисел как значение аналитического продолжения выражения a /1 s + b /2 s + c /3 s при s = 0. Оба метода присваивают ряду 1 + 2 + 3 + … значение суммы ζ(−1) = −1/12.

Применение в физике

Значение −1/12 встречается в теории бозонных струн при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны, а именно низший энергетический уровень .

Регуляризация ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … также встречается при расчёте эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве. Похожие вычисления возникают для трёхмерного пространства, однако в этом случае вместо дзета-функции Римана используются реальные [ уточнить ] аналитические ряды Эйзенштейна .

Примечания

  1. Polchinski, Joseph . String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String (англ.) . — Cambridge University Press, 1998. — P. 22. — 426 p. — ISBN 0-521-63303-6 .
  2. Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra (ed.), Vertex operator algebras and the zeta function , Contemporary Mathematics, vol. 248, pp. 327—340, arXiv : {{ citation }} : Неизвестный параметр |book-title= игнорируется ( справка )
  3. Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken; et al. (eds.), The bridge between the continuous and the discrete via original sources , National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden, p. 3 {{ citation }} : Неизвестный параметр |book-title= игнорируется ( справка ) ; Явное указание et al. в: |editor= ( справка )
  4. Hardy p. 10.
  5. , Дата обращения: 26 января 2014 от 18 марта 2014 на Wayback Machine
  6. Abdi, Wazir Hasan (1992), Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician , National, p. 41
  7. Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1 , Springer-Verlag, pp. 135—136
  8. Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. . The Euler Archive (2006). Дата обращения: 22 марта 2007. 11 сентября 2015 года. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (фр.) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin : magazine. — 1768. — Vol. 17 . — P. 83—106 .
  9. Присвоение номеров функциям идентифицируется как один из двух широких классов методов суммирования, включая суммирование Абеля и суммирование Бореля : . Theory and Application of Infinite Series (англ.) . — Dover, 1990. — P. 475—476. — ISBN 0-486-66165-2 .
  10. Stopple, Jeffrey (2003), A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann , p. 202, ISBN 0-521-81309-3
  11. (англ.) . Theory and Application of Infinite Series (англ.) . — Dover, 1990. — P. 490—492. — ISBN 0-486-66165-2 .
  12. Berndt et al. от 5 марта 2022 на Wayback Machine .
  13. Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1 , Springer-Verlag, pp. 13, 134 .
  14. Zee, p. 65-67.
  15. Zeidler, Eberhard (2007), , Springer, pp. 305—306, ISBN 9783540347644 от 5 марта 2022 на Wayback Machine .

Список литературы

Ссылки

  • , , ,
  • by
  • by
  • video with over a million views
    • includes demonstration of Euler’s method.
    • response to comments about video by
  • by Brydon Cais from University of Arizona
Источник —

Same as Ряд из натуральных чисел