Пример двух изоморфных графов. Изоморфизм ставит в соответствие вершинам одного графа вершины другого графа того же цвета: две вершины соединены ребром в одном графе тогда и только тогда, когда вершины тех же цветов соединены ребром в другом графе.

Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — равный, одинаковый, подобный и μορφή — форма) — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах математики и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов. Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой , например, для групп , колец , линейных пространств ; в этом случае он определяется как обратимое отображение ( биекция ) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры. Если между объектами существует изоморфизм, то они называются изоморфными . Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

Например, два графа называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм: то есть вершинам одного графа можно сопоставить вершины другого графа, так чтобы соединённым вершинам первого графа соответствовали соединённые вершины второго графа и наоборот. Иными словами, два графа изоморфны, если они «одинаковы» (с точностью до переименования вершин).

Другим классическим примером изоморфных систем могут служить множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$ всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение ${\displaystyle x\mapsto \exp(x)}$ в этом случае является изоморфизмом.

Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к группам , впоследствии перенесено на другие классы объектов.

Общая алгебра

В общей алгебре изоморфизмом называется обратимое отображение, которое является гомоморфизмом .

Например, для групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ биекция ${\displaystyle f\colon G\to H}$ называется изоморфизмом, если для любых ${\displaystyle a,\;b\in G}$ выполнено ${\displaystyle f(a)f(b)=f(ab)}$ . Если группы являются топологическими , то добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств .

Для полей ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ биекция ${\displaystyle f\colon F_{1}\to F_{2}}$ называется изоморфизмом , если она сохраняет обе операции поля, то есть для любых ${\displaystyle a,b\in F_{1}}$ выполняется:

• ${\displaystyle f(a)+f(b)=f(a+b)}$ ,
• ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)}$ .

Например, факторкольцо для кольца многочленов с вещественными коэффициентами ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ по модулю многочлена ${\displaystyle x^{2}+1}$ является полем, изоморфным полю комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ :

${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C} }$

Для полей с дополнительной структурой ( упорядоченные , топологические поля ) может добавляться условие, что биекция сохраняет также эти дополнительные структуры.

Наиболее общим образом изоморфизм определяется в теории категорий : объекты категории изоморфны, если между ними существует обратимый морфизм, то есть морфизм ${\displaystyle \varphi }$ , для которого существует такой морфизм ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ , что композиции ${\displaystyle \varphi ^{-1}\circ \varphi }$ и ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}}$ — тождественные морфизмы. Определения категории групп, категории колец, категории векторных пространств и других структур строятся таким образом, что классические определения изоморфизма групп, колец, векторных пространств совпадают с общим определением изоморфизма в категории. При этом вводится также понятие изоморфизма категорий — взаимно-однозначного соответствия между категориями с обратимыми функторами.

Теория множеств

В теории множеств любая биекция является изоморфизмом.

К примеру, два частично упорядоченных множества изоморфны, если между ними есть биекция, сохраняющая порядок .

Линейные пространства

Два линейных пространства ${\displaystyle V'(F)}$ и ${\displaystyle V''(F)}$ над одним и тем же полем ${\displaystyle F}$ называются изоморфными , если между векторами ${\displaystyle x'\in V'}$ и ${\displaystyle x''\in V''}$ можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия :

• если вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''\in V''}$ , а вектору ${\displaystyle \mathbf {y} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {y} ''\in V''}$ , то вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''}$ .
• если вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''\in V''}$ , и ${\displaystyle \lambda }$ — элемент поля ${\displaystyle F}$ , то вектору ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} ''\in V''}$ .

Нормированные пространства

Для нормированных пространств отображение одного из них в другое называется изоморфизмом нормированных пространств , если оно линейно , непрерывно и биективно , и обратное отображение тоже непрерывно. В этом смысле изоморфизм сохраняет структуру линейного пространства и топологию , но не обязательно сохраняет норму. Если изоморфизм ещё и сохраняет норму, то он называется изометрическим изоморфизмом или изометрией .

Теория графов

Граф ${\displaystyle G}$ называется изоморфным графу ${\displaystyle H}$ , если существует биекция ${\displaystyle f}$ из множества вершин графа ${\displaystyle G}$ в множество вершин графа ${\displaystyle H}$ , обладающая следующим свойством: если в графе ${\displaystyle G}$ есть ребро из вершины ${\displaystyle A}$ в вершину ${\displaystyle B}$ , то в графе ${\displaystyle H}$ должно быть ребро из вершины ${\displaystyle f(A)}$ в вершину ${\displaystyle f(B)}$ и наоборот — если в графе ${\displaystyle H}$ есть ребро из вершины ${\displaystyle A}$ в вершину ${\displaystyle B}$ , то в графе ${\displaystyle G}$ должно быть ребро из вершины ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ в вершину ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ . В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

В теории вычислительной сложности до сих пор является открытым вопрос о сложности задачи изоморфности графов . На данный момент не доказана ни её принадлежность классу ${\displaystyle P}$ , ни её ${\displaystyle NP}$ -полнота .

Связанные определения

Изоморфизм алгебраической системы на себя называется автоморфизмом . Совокупность всех автоморфизмов некоторой алгебраической системы с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу . Группа автоморфизмов алгебраической системы ${\displaystyle K}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} K}$ . Наиболее простой пример автоморфизма — это автоморфизм множества , то есть перестановка элементов этого множества.

Любой элемент ${\displaystyle g}$ группы определяет следующий автоморфизм, который называют внутренним автоморфизмом : каждому элементу группы ${\displaystyle x}$ ставится в соответствие сопряжённый ему элемент ${\displaystyle gxg^{-1}}$ :

${\displaystyle f(x)=gxg^{-1}}$ .

Теоремы об изоморфизме

Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем , связывающих понятия фактора , гомоморфизма и вложенного объекта . Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп , колец , модулей , линейных пространств , алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме , называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме ), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия никому особо не приписывается, считается, что наиболее общие формулировки дала Эмми Нётер .

Примечания

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9 .
• Понтрягин, Лев Семёнович . Непрерывные группы. — М. : УРСС , 2004. — 520 с. — ISBN 5-354-00957-X .
• Изоморфизм — статья из Математической энциклопедии . О. А. Иванова., Д. М. Смирнов