Эйлерова характеристика
или
характеристика Эйлера — Пуанкаре
— целочисленная характеристика
топологического пространства
.
Эйлерова характеристика пространства
обычно обозначается
.
Эйлерова характеристика
произведения
топологических пространств
M
и
N
равна произведению их эйлеровых характеристик:
Эйлерова характеристика полиэдров
Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле
где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного
многогранника
верна
формула Эйлера
:
Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.
Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме
дефектов полиэдра
, делённой на
.
Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.
Ориентируемые и неориентируемые поверхности
Эйлерова характеристика замкнутой ориентируемой поверхности связана с её
родом
g
(числом
ручек
, то есть числом
торов
в
связной сумме
, представляющей эту поверхность) соотношением
Эйлерова характеристика замкнутой неориентируемой поверхности связана с её
неориентируемым родом
k
(числом
проективных плоскостей
в связной сумме, представляющей эту поверхность) соотношением
В
1752 году
Эйлер
опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде
где
S
— количество вершин,
H
— количество граней,
A
— количество рёбер.
Ранее эта формула встречается в рукописях
Рене Декарта
, опубликованных в XVIII в.
В 1812 году
Симон Люилье
распространил эту формулу на многогранники с «дырками» (например, на тела наподобие рамы картины). В работе Люилье в правую часть формулы Эйлера добавлено слагаемое
где
— количество дырок («
род поверхности
»). Проверка для картинной рамы: 16 граней, 16 вершин, 32 ребра, 1 дырка:
В 1899 году
Пуанкаре
обобщил эту формулу на случай
N
-мерного многогранника:
где
— количество
i
-мерных граней
N
-мерного многогранника.
Если считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности
N
, формулу можно записать в более простом виде:
Вариации и обобщения
Уравнения Дена — Сомервиля
— полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.
(неопр.)
. Дата обращения: 19 января 2011.
28 июня 2010 года.
L. Euler
от 22 декабря 2012 на
Wayback Machine
. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии
6 апреля
1752 года
. Opera Omnia 1(26): 94-108.
Перевод на английский язык:
Leonhard Euler
от 23 июня 2011 на
Wayback Machine
. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)
H. Poincaré, Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.
Литература
Долбилин Н.
//
Квант
. — 2001. —
№ 5
. —
С. 7—12
.
Лакатос И.
Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. —
М.
: Наука, 1967.